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Autor Tema: Conjunto S  (Leído 726 veces)
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Julio_fmat
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« : 05/10/2014, 01:37:04 am »

Sea [texx]S=\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n: n\in \mathbb{N} \right\}.[/texx] Muestre que [texx]3[/texx] es una cota superior de [texx]S.[/texx]


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marion
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« Respuesta #1 : 05/10/2014, 02:29:53 am »

Hola Julio_fmat
No sé si sale con inducción pero otra manera de hacerlo es con el binomio de Newton:
[texx] (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=1+{n \choose 1 }\displaystyle\frac{1}{n}+{n \choose 2}\displaystyle\frac{1}{n^2}+{n \choose 3}\displaystyle\frac{1}{n^3}+...+{n \choose n}\displaystyle\frac{1}{n^n} [/texx]
[texx] (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=1+1+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}.\displaystyle\frac{1}{n^2}+\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}.\displaystyle\frac{1}{n^3}+...+\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)...[n-(n-1)]}{n!}.\displaystyle\frac{1}{n^n} [/texx]
[texx] (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=2+\displaystyle\frac{1}{2!}(1-\displaystyle\frac{1}{n})+\displaystyle\frac{1}{3!}(1-\displaystyle\frac{1}{n})(1-\displaystyle\frac{2}{n})+...+\displaystyle\frac{1}{n!}(1-\displaystyle\frac{1}{n})(1-\displaystyle\frac{2}{n})...(1-\displaystyle\frac{n-1}{n}) [/texx]
Ahora podemos considerar que:
[texx] (1-\displaystyle\frac{1}{n})<1;(1-\displaystyle\frac{1}{n})(1-\displaystyle\frac{2}{n})<1[/texx], etc, y del resultado de arriba se tiene la desigualdad
[texx] (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n<2+\displaystyle\frac{1}{2!}+\displaystyle\frac{1}{3!}+...+\displaystyle\frac{1}{n!} [/texx]
Ahora, si tenemos en cuenta que [texx] \displaystyle\frac{1}{3!}<\displaystyle\frac{1}{2^2}[/texx], [texx]\displaystyle\frac{1}{4!}<\displaystyle\frac{1}{2^3} [/texx], ..., [texx] \displaystyle\frac{1}{n!}<\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} [/texx] podemos escribir:
[texx] (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n<1+1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+...+\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} [/texx]
Ahí te quedará una progresión geométrica y puedes razonar que es menor que 3.
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