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mente oscura
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« : 12/09/2014, 05:58:12 am » |
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Hola.
Apartado A) Demostración UTF, para n=4.
[texx]Sean \ A, \ B, \ C \ \in{\mathbb{N}}\ coprimos / A, \ C \ = \ impares; \ B \ = \ par \ / A^2+B^2=C^2[/texx]
(*) Consideremos, como posible:
[texx]A=x^2[/texx]
[texx]B=y^2[/texx]
[texx]C=z^2[/texx]
De forma que:
[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]
Según las fórmulas “tradicionales”, para la obtención de “ternas pitagóricas”:
[texx]A=M^2-N^2[/texx]
[texx]B=2MN[/texx]
[texx]C=M^2+N^2[/texx]
Propiedades:
1ª)
[texx]C+B=M^2+N^2+2MN=(M+N)^2[/texx]
[texx]C+B=z^2+y^2=(M+N)^2[/texx]. Por (*)
2ª)
[texx]C-B=M^2+N^2-2MN=(M-N)^2[/texx]
[texx]C-B=z^2-y^2=(M-N)^2[/texx]. Por (*)
Conclusión: obtenemos dos “ternas pitagóricas”, en las que dos de sus elementos son iguales.
[texx]z^2+y^2=(M+N)^2[/texx]
[texx]z^2-y^2=(M-N)^2[/texx]
Consideración: Si demostramos, que no es posible que, dos “ternas pitagóricas”, tengan dos elementos comunes, habremos demostrado la UTF, para n=4.
Apartado B) Demostración de la imposibilidad de que, dos “ternas pitagóricas”, tengan dos elementos comunes:
[texx]Sean \ a, \ b, \ c \ \in{\mathbb{N}} / a, \ c \ = \ impares; \ b \ = \ par \ / a^2+b^2=c^2[/texx].(1)
[texx]Sean \ d, \ b, \ c \ \in{\mathbb{N}} / d, \ c \ = \ impares; \ b \ = \ par \ / c^2+b^2=d^2[/texx].(2)
Consideraciones:
1º) a, b, c, d, coprimos, por lo que son ternas pitagóricas primitivas.
2º) “c” es el menor impar, que cumple (1) y (2)
Paso 1º)
[texx]a^2+b^2=c^2[/texx]
[texx]a=m^2-n^2[/texx]
[texx]b=2mn[/texx]
[texx]c=m^2+n^2[/texx]
Paso 2º)
[texx]c^2+b^2=d^2[/texx]
[texx]c=u^2-v^2[/texx]
[texx]b=2uv[/texx]
[texx]d=u^2+v^2[/texx]
Por supuesto: “m” y “n” coprimos, al igual que “u” y “v”.
Por Paso 1º) y Paso 2º):
[texx]b=2mn=2uv[/texx]
Voy a descomponer “b” en cuatro factores coprimos: “e”, “f”, “g” y “h”, tal que:
[texx]b=2efgh[/texx]
Y, asignamos, por ejemplo:
[texx]m=ef[/texx]
[texx]n=gh[/texx]
[texx]u=eg[/texx]
[texx]v=fh[/texx]
Siendo: e=mcd(m,u), f=mcd(m,v), g=mcd(n,u), h=mcd(n,v)
Ahora, me basaré en el otro elemento común a las dos ternas: “c”
[texx]c=m^2+n^2=e^2f^2+g^2h^2[/texx]
[texx]c=u^2-v^2=e^2g^2-f^2h^2[/texx]
Por tanto:
[texx]e^2f^2+g^2h^2= e^2g^2-f^2h^2[/texx]
[texx]g^2h^2+f^2h^2= e^2g^2-e^2f^2[/texx]
[texx]h^2(g^2+f^2)=e^2(g^2-f^2)[/texx]
Al ser “h” y “e” coprimos, y, también, [texx]g^2+f^2[/texx] y [texx]g^2-f^2[/texx], (observemos que "g" o "f" han de ser "par", lo que posibilita la coprimalidad), se deduce que:
[texx]h^2=g^2-f^2[/texx]
[texx]e^2=g^2+f^2[/texx]
Con lo cuál, tenemos otras dos ternas pitagóricas con dos elementos comunes, pero:
[texx]c \ > \ g[/texx]
Ya que:
[texx]c=m^2+n^2>n^2=g^2h^2>g^2>g[/texx]
Que no es posible, ya que habíamos considerado “c”, como el menor impar que cumplía las condiciones (1) y (2).
Con lo cual, queda demostrado el “Apartado B)” y, por consiguiente, también el “Apartado A)”, concluyendo la imposibilidad de:
[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]
Un cordial saludo.
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