19/01/2019, 04:16:58 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1] 2 3 ... 5   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: El caso n=4. Una demostración alternativa-?  (Leído 21649 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« : 02/09/2014, 07:04:54 am »

Hola a todos,

Propongo que, para:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,P\in{\left\{{Nos.\,\,enteros\,\,pares}\right\}}\,\,I \in{\left\{{Nos.\,\,enteros\,\,impares}\right\}}[/texx] ;  [texx]mcd(x,y,z)=1\,\,\,\wedge\,\,\,\,(x,y,z) \in (P,I,I)\,;\,\,\,\,\,si:\,\,\,x^4+y^4=z^4\,,\,\,entonces\:\,\,\,xyz=0\,[/texx]

ESTRATEGIA: Parto de que es cierto  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  y trato de definir las condiciones que deben tener sus ternas solución en comparación con el proceso que se sigue para obtener las ternas solución del caso  [texx]n=2[/texx]  y ver si encuentro alguna circunstancia que por validar a esta última -que es cierta- invalide aquélla.

[texx]\displaystyle(1)\,\,\,\,\,\,x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]\displaystyle(2)\,\,\,\,\,\,x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

[texx]\displaystyle a)\,\,\,\,\,Como\,:\,\,x\,,\,\,z^2+y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-y^2[/texx]  son pares.

Entonces, de entrada:  [texx]x=2u[/texx]

[texx]\displaystyle b)[/texx]  Demostración que  [texx]z^2+y^2[/texx] es par de la forma: 2v .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1\,;[/texx]  entonces:

[texx]y^2=4a^2-4a+1[/texx]

[texx]z^2=4b^2-4b+1[/texx]

[texx]z^2+y^2=4b^2-4b+1+4a^2-4a+1[/texx]

[texx]z^2+y^2=2(2b^2-2b+2a^2-2a+1)[/texx]

Vemos que independientemente de las paridades de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre impar.

Luego:  [texx]z^2+y^2=2v[/texx] .

[texx]\displaystyle c)[/texx]  Demostración que  [texx]z^2-y^2[/texx]  es par, como mínimo, de la forma:  [texx]8w[/texx] .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx]

[texx]y^2=4a^2-4a+1[/texx]

[texx]z^2=4b^2-4b+1[/texx]

[texx]z^2-y^2=4b^2-4b+1-4a^2+4a-1[/texx]

[texx]z^2-y^2=4(b^2-a^2-b+a)[/texx]

Independientemente de la paridad de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre par.

Luego:  [texx]z^2-y^2=8w[/texx] .

De esta manera:

[texx]\displaystyle(3)\,\,\,\,\,\,16u^4=2v\cdot{8w}[/texx]

[texx]\displaystyle(4)\,\,\,\,\,\,u^4=v\cdot{w}[/texx]

[texx]\displaystyle a)[/texx]  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,\,w[/texx]  fueran coprimos deberán ser entonces a su vez potencias cuartas.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

[texx]\displaystyle b)[/texx]  Para demostrar que ambos son comprimos se hace así:

Si:  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran un factor común, éste lo sería también de  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] ,  lo que no es posible al ser éstos comprimos.

De esta forma, como tenemos que:

[texx]z^2+y^2=2v[/texx]

[texx]z^2-y^2=8w[/texx]

[texx]z^2=2v-y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,y^2=z^2-8w[/texx]

[texx]2z^2=2v+8w[/texx]

[texx]\pmb{z^2=v+4w}[/texx]

[texx]y^2=2v-z^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2=8w+y^2[/texx]

[texx]y^2=2v-8w-y^2[/texx]

[texx]2y^2=2v-8w[/texx]

[texx]\pmb{y^2=v-4w}[/texx]

Si:  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran por ejemplo el factor común  "[texx]l[/texx]" ,  de tal manera que:  [texx]v=l\cdot{n}\,\,\,\wedge\,\,\,w=l\cdot{m}[/texx] ;  entonces:  [texx]z^2=ln+4lm\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=ln-4lm[/texx] .  Luego:  [texx]z^2=l(n+4m)\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=l(n-4m)[/texx] ,  lo que no es posible al ser  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  coprimos, pues lo son  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] . Por tanto:  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  son coprimos y representarán el producto de dos potencias cuartas:  [texx]v=p^4\,\,\,\wedge\,\,\,w=q^4[/texx] .

[texx]\displaystyle c)[/texx]  Como sabemos entonces que:  [texx]\pmb{y^2=p^4-4q^4}\,\,\,\wedge\,\,\,\pmb{z^2=p^4+4q^4}[/texx] ,  y que además:  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx] ;  podemos ahora despejar  [texx]x[/texx]  en función de  [texx]p\,\,\,\wedge\,\,\,q[/texx] :

[texx]x^4=(p^4+4q^4)^2-(p^4-4q^4)^2[/texx]

[texx]x^4=p^8+8p^4q^4+16q^8-p^8+8p^4q^4-16q^8[/texx]

[texx]x^4=16p^4q^4[/texx]

[texx]\pmb{x=2pq}[/texx]

Donde:  [texx]p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\,\wedge\,\,\,p[/texx]  es impar, pues es la única manera para que se cumpla que  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  sean impares.

Pero ¿y  "[texx]q[/texx]" ? Demostremos ahora que  "[texx]q[/texx]" es, a su vez, par.

Tenemos que:

[texx]z^2=p^4+4q^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q^4=\dfrac{z^2-p^4}{4}}[/texx]

Si:  [texx]z=2b-1\,\,\,\wedge\,\,\,p=2c-1[/texx]

Entonces:

[texx]z^2=4b^2-4b+1[/texx]

[texx]p^4=16c^4-32c^3+24c^2-8c+1[/texx]

[texx]z^2-p^4=-16c^4+32c^3-24c^2+4b^2+8c-4b[/texx]

[texx]z^2-p^4=4(-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b)[/texx]

 [texx]\dfrac{z^2-p^4}{4}=-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b[/texx]

Como vemos, todos los términos de la suma son pares menos  [texx]b^2\,\,\,\wedge\,\,\,-b[/texx] .  De manera que sea  "[texx]b[/texx]" par o impar, sumado al resto de términos dará siempre lugar a un número par. Luego  "[texx]q[/texx]" será un entero par.

Ocurre entonces que de la terna solución para el caso  [texx]n=4[/texx] , el número que ocupa la posición de " [texx]x \vee y[/texx]  " cuando uno de éstos es par (yo he desarrollado aquí en concreto el caso:  [texx](x,y,z) \in (P,I,I)[/texx] ) podrá ser el mismo que corresponda a  [texx]x \vee y[/texx]  cuando éstos son -uno u otro- pares, en el caso de la ecuación para  [texx]n=2[/texx] . Esto es:  [texx](x \vee y)=2pq\,,\,\,para\,:\,\,p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\wedge\,\,\,p,q\,\,\,\,\,\,de\,\,\,\,distinta\,\,\,\,paridad[/texx] . Pero esto es una contradicción en el mismo término, pues de ser así un mismo cuadrado podría tener 2 magnitudes diferentes, una mayor que la otra, a saber:  [texx]\pmb{4p^2q^2=z^2-y^2+\delta ,\,\,\,\,\,\,\,\,\delta \in \mathbb{Z}^+}[/texx] ,  proveniente de la ecuación para el caso [texx]\pmb{n=4}[/texx] ;  y:  [texx]\pmb{4p^2q^2=z^2-y^2}[/texx] , proveniente de la ecuación para el caso [texx]\pmb{n=2}[/texx].

Si tenéis alguna duda sobre por qué aparece aquí en concreto el símbolo  "[texx]\delta[/texx]"  podéis ver en este  <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=74915.0" >enlace</a>  el contexto explicativo de ello.

Un saludo,
F. Moreno
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.458


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 03/09/2014, 06:45:13 am »

Hola
 
 De acuerdo en todo... salvo en la conclusión final, que francamente no entiendo. Ni siquiera le veo demasiada relación con todo lo que haces antes.

Ocurre entonces que de la terna solución para el caso  [texx]n=4[/texx] , el número que ocupa la posición de " [texx]x \vee y[/texx]  " cuando uno de éstos es par (yo he desarrollado aquí en concreto el caso:  [texx](x,y,z) \in (P,I,I)[/texx] ) podrá ser el mismo que corresponda a  [texx]x \vee y[/texx]  cuando éstos son -uno u otro- pares, en el caso de la ecuación para  [texx]n=2[/texx] . Esto es:  [texx](x \vee y)=2pq\,,\,\,para\,:\,\,p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\wedge\,\,\,p,q\,\,\,\,\,\,de\,\,\,\,distinta\,\,\,\,paridad[/texx] . Pero esto es una contradicción en el mismo término, pues de ser así un mismo cuadrado podría tener 2 magnitudes diferentes, una mayor que la otra, a saber:  [texx]\pmb{4p^2q^2=z^2-y^2+\delta ,\,\,\,\,\,\,\,\,\delta \in \mathbb{Z}^+}[/texx] ,  proveniente de la ecuación para el caso [texx]\pmb{n=4}[/texx] ;  y:  [texx]\pmb{4p^2q^2=z^2-y^2}[/texx] , proveniente de la ecuación para el caso [texx]\pmb{n=2}[/texx].

Estoy de acuerdo en que si [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] entonces necesariamente [texx]z^2<x^2+y^2[/texx] y por tanto:

[texx]x^2>z^2-y^2[/texx] es decir [texx]4p^2q^2=x^2=z^2-y^2+\delta[/texx] con [texx]\delta[/texx] entero positivo

Pero lo que no entiendo de donde te sacas es esto:

Cita
y:  [texx]\pmb{4p^2q^2=z^2-y^2}[/texx] , proveniente de la ecuación para el caso [texx]\pmb{n=2}[/texx].

Es decir, vienes afirmar que al mismo tiempo se tendría que [texx]x^2=z^2-y^2[/texx]. ¿Por qué? Esto tiene que ser muy bien justificado. Mi impresión es que te basas en la caracterización de ternas pitágoricas, pero te pierdes en algú momento. Si partimos de [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] nuestra terna pitagórica sería [texx](z^2,x^2,y^2)[/texx]. Pero no veo en absoluto como llegas a que [texx]x^2=z^2-y^2[/texx].

Saludos.
En línea
minette
Pleno*
*****

Karma: +0/-5
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 874


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 03/09/2014, 08:01:43 am »

Hola

Si [texx]x^2=z^2-y^2[/texx]  entonces

[texx]x^4+y^4<z^4[/texx]

Saludos.
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 03/09/2014, 08:26:42 am »

Hola el_manco,

Como siempre muchísimas gracias por tu pronta respuesta.


Es decir, vienes afirmar que al mismo tiempo se tendría que [texx]x^2=z^2-y^2[/texx]. ¿Por qué? Esto tiene que ser muy bien justificado. Mi impresión es que te basas en la caracterización de ternas pitágoricas, pero te pierdes en algú momento. Si partimos de [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] nuestra terna pitagórica sería [texx](z^2,x^2,y^2)[/texx]. Pero no veo en absoluto como llegas a que [texx]x^2=z^2-y^2[/texx].


Trataré de responder con números concretos para ir al grano lo más rápidamente posible:

Por ejemplo, la terna pitagórica siguiente:  [texx](12,35,37)[/texx] . Todos tenemos claro que:  [texx]144=37^2-35^2[/texx] . 144 puede ser -a su vez- un elemento de la terna solución de  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  como  [texx](144,y^2,z^2)[/texx] ;  pues se cumple que  [texx]144\in{4p^2q^2}[/texx] , esto es:  [texx]144=4\cdot{3^2\cdot{2^2}}[/texx]  para  [texx]p=3 \wedge q=2[/texx] ,  por ejemplo . Por otra parte yo sé que  [texx](Para\,\,n=4)\,\,\,\,\,z^2-y^2=8q^4\,\,\,\,(p^4+4q^4-(p^4-4q^4) )[/texx] , esto es  [texx]z^2-y^2=8\cdot{2^4}[/texx] , lo que en principio puede cumplir con la ecuación n=4, por ejemplo:  [texx]144=8\cdot{2^4}+16\,\,\,\,\,\,para\,\,\delta=16\,\,\,\,(144=z^2-y^2+\delta)[/texx] . Dónde yo veo la contradicción es en que  [texx]128\,\,(8\cdot{2^4})[/texx]  no puede ser igual nunca a  [texx]z^2-y^2[/texx] . Dicho de otra forma:  [texx]144\neq{z^2-y^2}+16[/texx] .

PD. Hola minette, veo que has contestado mientras yo estaba preparando la respuesta a el_manco. Pienso que vale igualmente para ti.

Un saludo


PD2.

Lo que quiero decir con este ejemplo numérico, es que sí que puedo tener al mismo tiempo:

[texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\,\,\,\,\,(z^2-y^2)[/texx]    [texx]\wedge[/texx]

[texx]x^2=8q^4+\delta\,\,\,\,\,\,\,\,(z^2-y^2+\delta)[/texx]


Porque  [texx]4p^2q^2=8q^4+\delta[/texx]  es verdadera (no falsa).

Pero que  [texx]8q^4\neq{z^2-y^2}[/texx]  porque yo sé que  [texx]z^2-y^2=4p^2q^2[/texx]  (está demostrado) y que  [texx]8q^4=4p^2q^2-\delta[/texx]  (que también está demostrado -arriba- y que va ha hacer entonces falso el caso n=4).
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.458


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 03/09/2014, 10:33:58 am »

Hola

Trataré de responder con números concretos para ir al grano lo más rápidamente posible:

Pues sinceramente no sé si me a aclarado demasiado, porque sigo sin verlo.

Por ejemplo, la terna pitagórica siguiente:  [texx](12,35,37)[/texx] . Todos tenemos claro que:  [texx]144=37^2-35^2[/texx] . 144 puede ser -a su vez- un elemento de la terna solución de  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  como  [texx](144,y^2,z^2)[/texx] ir que [texx]a^n+b^n=c^n[/texx].
 
;  pues se cumple que  [texx]144\in{4p^2q^2}[/texx] , esto es:  [texx]144=4\cdot{3^2\cdot{2^2}}[/texx]  para  [texx]p=3 \wedge q=2[/texx] ,  por ejemplo . Por otra parte yo sé que  [texx](Para\,\,n=4)\,\,\,\,\,z^2-y^2=8q^4\,\,\,\,(p^4+4q^4-(p^4-4q^4) )[/texx] , esto es  [texx]z^2-y^2=8\cdot{2^4}[/texx] , lo que en principio puede cumplir con la ecuación n=4, por ejemplo:  [texx]144=8\cdot{2^4}+16\,\,\,\,\,\,para\,\,\delta=16\,\,\,\,(144=z^2-y^2+\delta)[/texx] . Dónde yo veo la contradicción es en que  [texx]128\,\,(8\cdot{2^4})[/texx]  no puede ser igual nunca a  [texx]z^2-y^2[/texx] . Dicho de otra forma:  [texx]144\neq{z^2-y^2}+16[/texx] .

 Creo que tratas de razonar así:

 - Si [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] deduces que [texx]x=2pq[/texx], con [texx]p>q[/texx], coprimos y de distinta paridad.

 - Entonces [texx]x^2=4p^2q^2[/texx] y ahora utilizas que está en las condiciones de la construcción de ternas pitagóricas [texx]b=2mn,\quad a=m^2-n^2,\quad c=m^m+n^2[/texx] tomando [texx]m=p^2[/texx] y [texx]n=2q^2[/texx], por tanto [texx]x^2[/texx] también forma parte de una terna pitágorica [texx](x^2,Y,Z)[/texx] de forma que:

[texx](x^2)^2=Y^2+Z^2[/texx]

 - Pero ahora me parece que es que tu error es que identificas esos [texx](Y,Z)[/texx] de la terna pitagórica con los [texx](y,z)[/texx] de la terna inicial que cumplía el caso [texx]n=4[/texx].

 Si los "tiros" de tu argumento no van por aquí entonces no lo he entendido en absoluto; sin van por ahí entonces no están bien, por la identificación errónea que he apuntado al final.

Saludos.
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 03/09/2014, 04:53:33 pm »

Hola,

- Si [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] deduces que [texx]x=2pq[/texx], con [texx]p>q[/texx], coprimos y de distinta paridad.

Yo tampoco te estoy entendiendo bien, voy a tratar de deducir entonces directamente de tu frase.

Efectivamente, de   [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  deduzco que  [texx]x=2pq[/texx] ,  pero también deduzco que:  [texx]y^2=p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] .  Me explico: Yo en realidad no estoy buscando "ternas pitagóricas", que son:  [texx]2pq, p^2-q^2,p^2+q^2[/texx] . Yo estoy buscando las "ternas solución" de la ecuación n=4 y sólo llego a esta conclusión por decirlo lo más literalmente posible:  [texx]2pq\,,\,\,(p^4-4q^4)^{\frac{1}{2}}\,,\,\,(p^4+4q^4)^{\frac{1}{2}}[/texx] . Espero que hasta aquí, por lo menos, estemos de acuerdo.

La estrategia es emular para n=4 el proceso de determinación de ternas solución que se hace en el caso n=2.

Pregunta: ¿Si la "x" de la terna solución para n=2 es:  " [texx]2pq[/texx] "  y la "x" de la terna solución para n=4 es también:  " [texx]2pq[/texx] " ,  para  " [texx]p,q[/texx] " números enteros completamente genéricos que cumplen solamente el ser coprimos y de distinta paridad, no quiere decir esto que sus soluciones pueden ser compartidas? Por ejemplo:  ¿que  [texx]144[/texx]  sea solución de la "x" para n=2 y posible solución para la "x" de n=4? Si esto no es así entonces efectivamente estoy peleando en medio de la niebla.

Al yo creer que esto sí es así, entonces digo que será posible:  [texx]4p^2q^2=8q^4+\delta[/texx] , cosa que verifico:  [texx]144=128+16[/texx] .  Y digo que si esto es posible, será posible la siguiente contradicción que invalidará el caso  [texx]n=4[/texx] , que:  [texx]z^2-y^2=z^2-y^2+\delta[/texx] . Porque entonces el caso n=4 dejará la puerta abierta a una contradicción flagrante: un cuadrado menor que sí mismo.

Un cordial saludo.
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 07/09/2014, 01:18:23 pm »

Hola,

Hace ya varios días que puse contestación en este hilo y nadie responde. Supongo que el_manco no lo hace por estar de vacaciones o por considerar evidente que está mal o por ambas cosas a la vez, no lo sé. ¿Alguien me puede arrojar alguna luz al respecto? Si estuviera bien me gustaría publicar la demostración en la revista del foro.

Un saludo.
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.458


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 08/09/2014, 04:56:02 am »

Hola

Efectivamente, de   [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  deduzco que  [texx]x=2pq[/texx] ,  pero también deduzco que:  [texx]y^2=p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] .  Me explico: Yo en realidad no estoy buscando "ternas pitagóricas", que son:  [texx]2pq, p^2-q^2,p^2+q^2[/texx] . Yo estoy buscando las "ternas solución" de la ecuación n=4 y sólo llego a esta conclusión por decirlo lo más literalmente posible:  [texx]2pq\,,\,\,(p^4-4q^4)^{\frac{1}{2}}\,,\,\,(p^4+4q^4)^{\frac{1}{2}}[/texx] . Espero que hasta aquí, por lo menos, estemos de acuerdo.

De acuerdo hasta ahí.

Cita
Pregunta: ¿Si la "x" de la terna solución para n=2 es:  " [texx]2pq[/texx] "  y la "x" de la terna solución para n=4 es también:  " [texx]2pq[/texx] " ,  para  " [texx]p,q[/texx] " números enteros completamente genéricos que cumplen solamente el ser coprimos y de distinta paridad, no quiere decir esto que sus soluciones pueden ser compartidas? Por ejemplo:  ¿que  [texx]144[/texx]  sea solución de la "x" para n=2 y posible solución para la "x" de n=4? Si esto no es así entonces efectivamente estoy peleando en medio de la niebla.

Al yo creer que esto sí es así, entonces digo que será posible:  [texx]4p^2q^2=8q^4+\delta[/texx] , cosa que verifico:  [texx]144=128+16[/texx] .  Y digo que si esto es posible, será posible la siguiente contradicción que invalidará el caso  [texx]n=4[/texx] , que:  [texx]z^2-y^2=z^2-y^2+\delta[/texx] . Porque entonces el caso n=4 dejará la puerta abierta a una contradicción flagrante: un cuadrado menor que sí mismo.

Aquí es donde empiezas a hacer un batiburrillo. No estoy seguro del uso que haces de "genérico" pero me da la sensación que es parte de la confusión; más que genérico en tu caso simplemente podrías decir números enteros cualesquiera. La cuestión es que tu aplicarás después esa caracterización para un terna concreta.

Tu hablas de que "sus soluciones pueden ser compartidas". En principio no te digo que no pudieran ser compartidas, pero que puedan ser compartidas no quiere decir que tengan obligatoriamente que serlo". Es decir:

Si [texx](x,y,z)[/texx] pueden ser tres números que cumplen [texx]x^4=z^4-y^4[/texx], tu has probado entonces que [texx]x=2pq,\quad y^2=p^2-4q^2,\quad z^2=p^2+4q^2[/texx] con [texx]p,q[/texx] cumpliendo las condiciones que dices.

Para ese mismo [texx]x[/texx] la teoría de ternas pitagóricas nos dice también que forma parte de una tripleta:

[texx](x,Y,Z)[/texx] tal que [texx]x^2=Z^2-Y^2[/texx]. En particular si [texx]x=2pq[/texx], se tiene que [texx]Z=p^2+q^2 [/texx] e [texx]Y=p^2-q^2[/texx].

Pero NADA obliga a que las [texx](y,z)[/texx] de la primera terna relativa al caso [texx]n=4[/texx] coincidan con las [texx](Y,Z)[/texx] de la segunda terna relativas a [texx]n=2[/texx].

Es fácil probar de hecho que NO pueden coincidir, porque efectivamente si [texx](y,z)=(Y,Z)[/texx] entonces llegamos a un absurdo (el que tu apuntas); o dicho de otra manera es muy fácil ver que dos tripletas iguales no triviales no pueden ser simultáneamente soluciones a ecuaciones de Fermat de distinto grado.

O visto de otra manera con la construcción que hemos hecho está claro que no coinciden:

[texx]y^2=p^2-4q^2[/texx] pero [texx]Y^2=(p^2-q^2)^2=p^4+q^4-2p^2q^2[/texx]

Si sigues pensando que tu argumento es correcto, detalla todo lo que puedes como relacionas el caso [texx]n=4[/texx] y el caso [texx]n=2[/texx], porque es ahí dónde está el error de tu razonamiento.

Saludos.

Hace ya varios días que puse contestación en este hilo y nadie responde. Supongo que el_manco no lo hace por estar de vacaciones o por considerar evidente que está mal o por ambas cosas a la vez, no lo sé. ¿Alguien me puede arrojar alguna luz al respecto? Si estuviera bien me gustaría publicar la demostración en la revista del foro.

El jueves pasado me operaron de cataratas y aunque todo salió muy bien y la operación es sencilla al principio me costaba bastante fijar la vista para leer; la cosa está mejorando...
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 08/09/2014, 12:16:34 pm »

Hola,


Hace ya varios días que puse contestación en este hilo y nadie responde. Supongo que el_manco no lo hace por estar de vacaciones o por considerar evidente que está mal o por ambas cosas a la vez, no lo sé. ¿Alguien me puede arrojar alguna luz al respecto? Si estuviera bien me gustaría publicar la demostración en la revista del foro.

El jueves pasado me operaron de cataratas y aunque todo salió muy bien y la operación es sencilla al principio me costaba bastante fijar la vista para leer; la cosa está mejorando...

Espero que tu recuperación sea perfecta y disculpa mi impaciencia.


Si sigues pensando que tu argumento es correcto, detalla todo lo que puedes como relacionas el caso [texx]n=4[/texx] y el caso [texx]n=2[/texx], porque es ahí dónde está el error de tu razonamiento.

No, ahora pienso que mi razonamiento final es incorrecto. He querido decir  [texx](x_a,y,z)[/texx]  cuando en realidad estoy diciendo  [texx](x_a,Y,Z)[/texx]  para:  [texx]{x_a}^2=Z^2-Y^2[/texx] . No sé porqué no lo he comprendido en tu segunda respuesta.

Intentaré de todas formas darle otra oportunidad a la base de la demostración y a su estrategia, pero soy poco optimista.

Un cordial saludo,

F. Moreno
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
minette
Pleno*
*****

Karma: +0/-5
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 874


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 08/09/2014, 01:31:25 pm »

Hola,

Con mi deseo de una total y pronta recuperación para el_manco de su operación de cataratas, aprovecho para ampliar mi respuesta 2 en este hilo:

Si [texx]x^{2}=z^{2}-y^{2}[/texx] entonces

[texx]x^{n}+y^{n}<z^{n}[/texx] para [texx]n\geq3 [/texx]

Saludos.
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 08/09/2014, 02:47:08 pm »

Hola,

Si [texx]x^{2}=z^{2}-y^{2}[/texx] entonces

[texx]x^{n}+y^{n}<z^{n}[/texx] para [texx]n\geq3 [/texx]

Perdona minette, pero te estás liando un poco. Es incorrecto decir en general que:  [texx]x^2+y^2=z^2[/texx] ,  porque no es cierto. Existen soluciones  [texx](x_1\vee y_1,z_1)\in{(2pq\vee p^2-q^2,p^2+q^2)}[/texx]  que efectivamente hacen que  [texx]x_1^2+y_1^2=z_1^2[/texx] ;  y otro tipo de "ternas de números" -infinitas- para las que la anterior ecuación no cumple.

Lo que tú quieres decir entonces se podría decir así:  Si  [texx]x_1^{2}=z_1^{2}-y_1^{2}[/texx] ,  entonces efectivamente:  [texx]x_1^{n}+y_1^{n}<z_1^{n}\,\,\,para\,\,n\geq3[/texx] . Otra cosa es que a veces en medio de las demostraciones a alguno -yo, por ejemplo- se nos haya escapado un uso incorrecto o poco preciso de la expresión:  [texx]x^{2}+y^{2}=z^{2}[/texx] .

Un saludo,
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
minette
Pleno*
*****

Karma: +0/-5
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 874


Ver Perfil
« Respuesta #11 : 09/09/2014, 07:30:20 am »

Hola,

Creo que no me estoy liando ni poco ni mucho.

Te olvidas del condicional SI cuando escribo

si [texx]x^2=z^2-y^2[/texx]

Saludos
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 09/09/2014, 09:57:56 am »

Hola,

Hola,

Creo que no me estoy liando ni poco ni mucho.

Te olvidas del condicional SI cuando escribo

si [texx]x^2=z^2-y^2[/texx]

Saludos

Ok, quizás me precipité un poco en mi valoración. Digamos entonces que es una forma de decirlo que se presta a ambigüedades. Por ejemplo, siguiendo literalmente la lógica de lo que dices:  [texx]Si\,\,\,\,x^2\neq{z^2-y^2}\,,\,\,\,\,entonces\,:\,\,x^n+y^n=z^n[/texx]. Se presta un poco a confusión, es lo que quería decir.

Un saludo,
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
minette
Pleno*
*****

Karma: +0/-5
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 874


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 10/09/2014, 07:48:28 am »

Hola

No, no hay ambigüedad ni confusión alguna.

Dices si [texx]x^{2}\neq z^{2}-y^{2}[/texx] entonces [texx]x^{n}+y^{n}=z^{n}[/texx] . ¿En qué te basas, porque podría ocurrir [texx]n^{n}+y^{n}>z^{n}[/texx] ?

Te lo aclaro:

Si [texx]x^{2}+y^{2}=z^{2}\rightarrow x^{n}+y^{n}<z^{n}[/texx]; [texx]n\geq3 [/texx].

Si [texx]x^{2}+y^{2}<z^{2}\rightarrow x^{n}+y^{n}<z^{n} [/texx]; [texx]n\geq3[/texx] .

Si [texx]x^{2}+y^{2}>z^{2}\rightarrow[/texx] Este caso es el único que podría llevar a [texx]x^{n}+y^{n}=z^{n}[/texx] .

Saludos.
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 10/09/2014, 04:01:55 pm »

Hola,

Sé que me precipito, pero se me va a acabar pronto el tiempo libre del que dispongo ahora; además imagino que tampoco seré el único que está pensando en tratar de solucionar este tema. Así que ahí va eso:



1)   Tengo por ahora que:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  y que las ternas solución de esta ecuación para "x=par" son:  [texx](x,y,z)\in{(2pq,(p^4-4q^4)^{\frac{1}{2}}},(p^4+4q^4)^{\frac{1}{2}})\,,\,\,\,\,\,\,para\,:\,\,p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\wedge\,\,\,p,q\,\,\,\,\,\,de\,\,\,\,distinta\,\,\,\,paridad[/texx] .


2)   Como yo sé que para este caso de la ecuación  [texx](n=4)[/texx] :   [texx]x^2=z^2-y^2+\delta[/texx] ,  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^+}}[/texx] ; entonces:  [texx]4p^2q^2=8q^4+\delta[/texx] .     [texx]\left({z^2-y^2=(p^4+4q^4)-(p^4-4q^4)=8q^4}\right)[/texx]


3)   Por otra parte puedo hacer el siguiente razonamiento:

[texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

[texx]\dfrac{x^2}{z^2-y^2}= \dfrac{z^2+y^2}{x^2}[/texx]

[texx]\dfrac{x^2}{z^2-y^2}= \dfrac{z^2+y^2}{z^2-y^2+\delta}[/texx]

[texx]\dfrac{x^2}{z^2-y^2}=\dfrac{z^2+y^2-\epsilon}{(z^2-y^2+\delta )-\delta}[/texx]

Para:

[texx]z^2-y^2+\delta\longrightarrow{\delta}[/texx]

[texx]z^2+y^2\longrightarrow{\epsilon}[/texx]

De donde:

[texx]x^2\longrightarrow{\delta}[/texx]

[texx]z^2+y^2\longrightarrow{\epsilon}[/texx]

Y por tanto:

[texx]\delta=\dfrac{x^2\cdot{\epsilon}}{z^2+y^2}[/texx]


4)   De esta manera: 

[texx]4p^2q^2=8q^4+\delta\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,{4p^2q^2=8q^4+\dfrac{x^2\cdot{\epsilon}}{z^2+y^2}}[/texx]

[texx]4p^2q^2=8q^4+\dfrac{4p^2q^2\cdot{\epsilon}}{2p^4}[/texx]      [texx]-({z^2+y^2=(p^4+4q^4)+(p^4-4q^4)=2p^4})-[/texx]

[texx]4p^2q^2=4q^2(2q^2+\dfrac{p^2\cdot{\epsilon}}{2p^4})[/texx]

[texx]p^2=2q^2+\dfrac{\epsilon}{2p^2}[/texx]

[texx]p^2-2q^2=\dfrac{\epsilon}{2p^2}[/texx]

[texx]\color{red}\dfrac{1}{2}-\dfrac{q^2}{p^2}\,\,\neq\,\,\epsilon[/texx]

Dado que:  [texx]\color{red}\epsilon\in{\mathbb{Z^+}}[/texx] .

Por ejemplo, si seguimos desarrollando el punto 3), llegamos fácilmente a la siguiente consecuencia:  [texx]x^2=z^2+y^2-\epsilon[/texx] ,  donde se muestra claramente la naturaleza de número entero de  [texx]\epsilon[/texx] .


[[Todo lo que está arriba en color rojo está mal. Ver en los 2 post siguientes la explicación. La demostración queda por lo tanto sin terminar. Disculpas]]


Un saludo,
F. Moreno


PD.

Hola minette,

Si [texx]x^{2}+y^{2}=z^{2}\rightarrow x^{n}+y^{n}<z^{n}[/texx]; [texx]n\geq3 [/texx].

Si [texx]x^{2}+y^{2}<z^{2}\rightarrow x^{n}+y^{n}<z^{n} [/texx]; [texx]n\geq3[/texx] .

Si [texx]x^{2}+y^{2}>z^{2}\rightarrow[/texx] Este caso es el único que podría llevar a [texx]x^{n}+y^{n}=z^{n}[/texx] .

Ok.

Un saludo
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.458


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 11/09/2014, 06:39:38 am »

Hola
 
 Pues todo iba muy bien... hasta que llegando a la orilla...

[texx]p^2-2q^2=\dfrac{\epsilon}{2p^2}[/texx]

[texx]\dfrac{1}{2}-\dfrac{q^2}{p^2}\,\,\neq\,\,\epsilon[/texx]

¿Cómo pasas la penúltima ecuación a la última? ¿O qué tienen que ver?.

Saludos.
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 11/09/2014, 07:29:00 am »

Hola,


[texx]p^2-2q^2=\dfrac{\epsilon}{2p^2}[/texx]

[texx]\dfrac{1}{2}-\dfrac{q^2}{p^2}\,\,\neq\,\,\epsilon[/texx]

¿Cómo pasas la penúltima ecuación a la última? ¿O qué tienen que ver?.

¡¡Qué bochorno!!  :sonrisa_amplia:   Me he equivocado, no voy a invocar paliativos ni excusa alguna. Lo cambio y lo pongo en rojo en el post de arriba.

Un saludo y disculpas
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #17 : 30/09/2014, 03:32:30 pm »

Hola,

Tengo UNA DUDA:

Yo tengo (ver el post primero de este hilo) que:  [texx]z^2=p^4+4q^4[/texx] .  Que es lo mismo que decir que:  [texx]z^2=(p^2)^{2}+(2q^2)^{2}[/texx] .

Y resulta que:

(1)    [texx]mcd\,(z\,,\,p^2,\,2q^2)\,=\,1[/texx] .

Puesto que de  [texx]z^2-y^2=8q^4[/texx] ,  se deduce que no puede haber un primo  " [texx]P[/texx] "  que divida al mismo tiempo a  [texx]z^2[/texx]  y a  [texx]8q^4[/texx] ,  porque no puede dividir a la vez a  [texx]z^2[/texx]  y a  [texx]y^2[/texx] ,  porque son coprimos y si divide a uno sólo de ellos, tampoco podrá dividir a  [texx]8q^4[/texx] .

Y puesto que de  [texx]z^2+y^2=2p^4[/texx] ,  se deduce también que no puede haber ningún primo  " [texx]P[/texx] "  que divida a la vez a  [texx]z^2[/texx]  y a  [texx]2p^4[/texx] ,  porque no puede dividir al mismo tiempo a  [texx]z^2[/texx]  y a  [texx]y^2[/texx] ,  al ser coprimos,  ni a uno sólo de ellos, pues si lo hace tampoco dividiría a  [texx]2p^4[/texx] .

(2)    Que  [texx]2q^2[/texx]  es par, menor que  [texx]p^2[/texx]  y coprimo con éste.

(3)    Que  [texx]p^2[/texx]  es impar, mayor que  [texx]2q^2[/texx] y coprimo con él.

Entonces tendré la siguiente terna pitagórica:  [texx](2q^2,\,p^2,\,z)\in{(2ab\,,\,a^{2}-b^{2}\,,\,a^{2}+b^{2})}[/texx] ;  pero esto dará lugar a una contradicción como que:  [texx]2q^2=2ab[/texx]  y por tanto que:  [texx]q^2\neq ab[/texx] .


Un saludo,
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.458


Ver Perfil
« Respuesta #18 : 06/10/2014, 06:27:11 am »

Hola

Entonces tendré la siguiente terna pitagórica:  [texx](2q^2,\,p^2,\,z)\in{(2ab\,,\,a^{2}-b^{2}\,,\,a^{2}+b^{2})[/texx] ;  pero esto dará lugar a una contradicción como que:  [texx]2q^2=2ab[/texx]  y por tanto que:  [texx]q^2\neq ab[/texx] .

¿Dónde está la contradicción?.

¿Por qué no va a poder ser [texx]q^2=ab[/texx] con [texx]a,b[/texx] coprimos?.

Saludos.
En línea
Proyecto
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 212


Ver Perfil
« Respuesta #19 : 06/10/2014, 05:39:29 pm »

Hola,

¿Dónde está la contradicción?.

¿Por qué no va a poder ser [texx]q^2=ab[/texx] con [texx]a,b[/texx] coprimos?.

Ok, se me ha pasado:  [texx]q^2=ab[/texx]   si   [texx]a=a_1^2\,\,\wedge\,\,b=b_1^2[/texx] .

Un saludo,
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
Páginas: [1] 2 3 ... 5   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!