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Autor Tema: Funciones medibles y "Fatou"  (Leído 524 veces)
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Iziro
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« : 30/08/2014, 01:52:04 am »

1) Si tengo que [texx]f_n:X\to [0,\infty][/texx] medibles para todo [texx]n[/texx], y [texx]f_i\geq{f_{i+1}}[/texx], [texx]f_n\rightarrow{f(x)}[/texx] cuando [texx]n\rightarrow{\infty}[/texx], para todo [texx]x\in{X}[/texx].

Demuestre que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{X}{f_n d\mu}}=\displaystyle\int_{X}{f}d\mu[/texx]


Defino [texx]g_n=f_1-f_n[/texx] entonces [texx]g_i\leq{g_{i+1}}[/texx] por lo que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{g_n}=f_1-f[/texx]; asi, aplico el teorema de la convergencia monótona de Lebesgue y tengo que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{X}{g_n}d\mu}=\displaystyle\int_{X}{(f_1-f)}d\mu[/texx].

De esto no se como concluir que  [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{X}{f_n d\mu}}=\displaystyle\int_{X}{f}d\mu[/texx]


2)Tengo [texx]f_n=\chi_E[/texx] si [texx]n[/texx] es impar, [texx]f_n=1-\chi_E[/texx] si [texx]n[/texx] es par  con [texx]E[/texx] medible (en un espacio [texx]X[/texx]).

Así que [texx]\displaystyle\int_{X}{f_n}=\mu(E)[/texx] si [texx]n[/texx] es impar y [texx]\mu(X\setminus{E})[/texx] si [texx]n[/texx] es par.

Por lo que [texx] \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \ inf  }  \displaystyle\int_{X}{f_n}=max \{\mu(E),\mu(X\setminus{E})\}[/texx] y
además [texx]\displaystyle\int_{X}{(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \ inf \ f_n})}d\mu=0[/texx]. Por lo tanto tenemos la desigualdad estricta en el Lema de Fatou, siempre que [texx]\mu(E),\mu(X\setminus{E})>0[/texx]


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