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Autor Tema: Sobre matriz fundamental de un sistema.  (Leído 4199 veces)
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lindtaylor
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« : 19/08/2014, 10:48:36 pm »

Sea el sistema x'=A(t)x, si X es matriz fundamental del sistema y si A(-t)=-A(t), ¿Por qué se tiene que X(t)=X(-t)? he tratado de todo pero no logro llegar a eso.
Desde ya gracias.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 20/08/2014, 04:46:21 pm »

Sea el sistema x'=A(t)x, si X es matriz fundamental del sistema y si A(-t)=-A(t), ¿Por qué se tiene que X(t)=X(-t)? he tratado de todo pero no logro llegar a eso.

Demuestra (no es difícil) que si [texx]\Phi (t)[/texx] es matriz fundamental del sistema, también lo es [texx]\Phi (-t).[/texx] Esto implica que [texx]\Phi (-t)=\Phi (t)C[/texx] con [texx]C[/texx] matriz constante. Para [texx]t=0[/texx] queda [texx]\Phi (0)=\Phi (0)C[/texx] siendo [texx]\Phi (0)[/texx] invertible, por tanto [texx]C=I.[/texx] Concluimos que [texx]\Phi (-t)=\Phi (t).[/texx]
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 21/08/2014, 02:29:38 am »

Gracias.

 [texx](X(-t))'=-X'(-t)=-A(-t)X(-t)=A(t)X(-t)[/texx], entonces [texx]X(-t)[/texx] es matriz fundamental del sistema, luego [texx]X(-t)=X(t)C[/texx] y se sigue =)

Una consulta. [texx](X^{-1}(-t))=-X^{-1}(t)[/texx]?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 21/08/2014, 02:51:53 am »

Una consulta. [texx](X^{-1}(-t))=-X^{-1}(t)[/texx]?

No. Dado que [texx]X(-t)=X(t),[/texx] tomando inversas queda  [texx]X^{-1}(-t)=X^{-1}(t).[/texx] Si fuera además [texx]X^{-1}(-t)=-X^{-1}(t),[/texx] implicaría [texx]X^{-1}(t)=0[/texx] (absurdo pues [texx]X(t)[/texx] es invertible).
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« Respuesta #4 : 21/08/2014, 03:10:06 am »

Pues un artículo que estoy leyendo dice que si [texx]P(t)=X^{-1}(t)B(t)X(t)[/texx], y si [texx]A(-t)=-A(t), B(-t)=B(t)[/texx], entonces [texx]P(-t)=-P(t)[/texx]. Lo cual me parece incorrecto, pues [texx]P(-t)=X^{-1}(-t)B(-t)X(-t)=X^{-1}(t)B(t)X(t)=P(t).[/texx]
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 21/08/2014, 06:55:13 am »

Pues un artículo que estoy leyendo dice que si [texx]P(t)=X^{-1}(t)B(t)X(t)[/texx], y si [texx]A(-t)=-A(t), B(-t)=B(t)[/texx], entonces [texx]P(-t)=-P(t)[/texx]. Lo cual me parece incorrecto, pues [texx]P(-t)=X^{-1}(-t)B(-t)X(-t)=X^{-1}(t)B(t)X(t)=P(t).[/texx]

Lo que escribes es correcto, en consecuencia, si es eso lo que dice el árticulo, es incorrecto.

P.D. ¿Podrías dar un enlace al artículo?
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« Respuesta #6 : 21/08/2014, 02:50:01 pm »

Lo adjunto acá. En la página 7 del archivo está.
Creo que el artículo debió decir que B(-t)=-B(t) pues así si funciona.

* 1-s2.0-S0362546X06004858-main.pdf (236.2 KB - descargado 293 veces.)
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Fernando Revilla
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« Respuesta #7 : 22/08/2014, 07:19:06 am »

Creo que el artículo debió decir que B(-t)=-B(t) pues así si funciona.

Ciertamente, yo también creo que la condición [texx](C7)[/texx] es la que tú dices.
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