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Autor Tema: Un problema de Espiral Logarítmica  (Leído 7373 veces)
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MasLibertad
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« Respuesta #20 : 27/07/2014, 08:13:26 pm »

..........
Si miras el dibujo de una espiral áurea puedes ver a ojo que el radio en una vuelta es como seis veces más grande que el radio en la vuelta anterior, pero no 45.
Y si leés tu primer mensaje vas a encontrar: "Pero lo que yo necesito saber es cómo aumenta R en dos vueltas sucesivas" y los 45 corresponden a la diferencia en dos vueltas.
Si en una parte hablás de dos vueltas y en otras de una,  de la distancia entre entre pasos sucesivos y otras de la relación de distancias, y después metés en una planilla una fórmula sin importarte que representan sus parámetros, es lógico que el resultado no sea el deseado.

Lamento, Abdulai, si no me he explicado bien.
Volveré a intentarlo.

Pero antes repasaré lo que sé, a ver si es que estoy equivocado en algo.
Una espiral logarítmica se define como una línea continua que conserva siempre el mismo ángulo con cualquier radio que cruce.
Curiosamente, para definir el grado de una espiral no se indican los grados con respecto al radio, sino a la circunferencia centrada en el origen de la espiral.
Así, una espiral de grado 5 es la que su tangente tiene 5º respecto a la circunferencia, o 85º respecto al radio. (obviemos los 95º que sería la misma espiral pero girando hacia dentro en vez de hacia afuera).
Una espiral de grado 0 es una circunferencia centrada en el origen.
Una espiral de grado 90 es una recta originada en el origen.
Cualquier otra espiral da un número infinito de vueltas alrededor de su origen, tanto hacia dentro como hacia fuera.
Si tomamos un radio cualquiera y cogemos una distancia arbitraria x, desde x hacia fuera hay una longitud infinita, y en ella la espiral cruza el radio infinitas veces.
Si examinamos el radio desde x hasta el origen, tendremos una distancia finita, pero en esa distancia finita la espiral da infinitas vueltas antes de llegar al origen. Y a pesar de dar un número infinito de vueltas, la longitud de una espiral desde un punto cualquiera a su centro no es infinita, sino finita, e igual al Radio dividido por el coseno del ángulo de la espiral con el radio (¡¡qué cosas más raras pasan!!)
La distancia entre dos cruces consecutivos de una espiral con el mismo radio es SIEMPRE y en cualquier radio, la distancia del cruce más cercano al origen multiplicado por un factor K.
Si tienes una espiral logarítmica y coges cualquier punto P de ella, mides la distancia OP y prolongas ese mismo radio hasta encontrar la siguiente vuelta OS, la razón entre OS y OP es siempre la misma, independientemente del punto y del radio escogidos.
Ese factor K depende del grado de la espiral.
(Obvio el hecho de que el grado de una espiral es igual al ángulo de su tangente con la circunferencia centrada en origen. O al ángulo COMPLEMENTARIO, de su tangente con el radio)

Hasta aquí lo que sé. Si ves que en alguno de esos puntos estoy equivocado, por favor, corrígeme.

Ahora lo que quisiera averiguar:
¿Cómo calcular el factor K de una espiral? Es decir, ¿por cuánto hay que multiplicar la longitud de un radio para encontrar el siguiente cruce de la espiral con el mismo radio?

Me da igual si K se calcula a partir del grado de la espiral, o del ángulo con el radio, porque ambos casos serían complementarios, ambos casos me servirían.

Creo que el_manco lo entendió perfectamente cuando me respondió.
[texx]r(\theta+2\pi)-r(\theta)= . . . = r(\theta) * K[/texx]
La duda es cuánto vale K

Hasta ahora hemos probado
el_manco >> [texx]K = \dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1[/texx]
el_manco >> [texx]K = \dfrac{1}{tan(A)^{2\pi}}-1[/texx]
el_manco >> [texx]K = (e^{2\pi/tan(A)}-1)[/texx]
Fernando Revilla >> [texx]K = (e^{4\pi/\tan A}-1)[/texx]
Fernando Revilla >> [texx]K = (e^{4\pi b}-1)[/texx], pero ésta no me vale porque no está basada en el ángulo. O yo no la se interpretar.

De verdad que agradezco enormemente el esfuerzo que estáis haciendo por responderme, y dejad que os diga que no sabía que el problema fuera tan difícil, a pesar de que vosotros insistáis en que es muy fácil, pero es que yo soy de la época en que las calculadoras tenían manivela. (No es una broma. Las calculadoras tenían manivela)

De hecho, estos cálculos los he hecho hace años de una forma muy pedestre, calculando triángulos sucesivos hasta completar 360º, pero se pierde mucha precisión en los decimales y no es un resultado muy fiable.
Ahora estoy actualizando un artículo de mi página y me gustaría poder hacer esos cálculos con más precisión.
NO, No con MÁS precisión, sino con TODA precisión.

Estoy seguro de que hay una fórmula directa para conseguirlo a partir del grado de la espiral o del ángulo con el radio.

Si podéis ayudarme estupendo, pero, lógicamente, probaré la fórmula que me deis con una serie de valores sucesivos para ver si el resultado es más o menos lógico.

Si no, pues no pasa nada. En cuanto pueda volveré a hacer el cálculo con los triángulos sucesivos y revisaré todos los pasos que de para comprobar que el resultado sea lo más exacto posible.

En cualquier caso, gracias.
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« Respuesta #21 : 27/07/2014, 11:03:25 pm »

Pero antes repasaré lo que sé, a ver si es que estoy equivocado en algo.
Una espiral logarítmica se define como una línea continua que conserva siempre el mismo ángulo con cualquier radio que cruce.
..........................................................
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Ese factor K depende del grado de la espiral.
(Obvio el hecho de que el grado de una espiral es igual al ángulo de su tangente con la circunferencia centrada en origen. O al ángulo COMPLEMENTARIO, de su tangente con el radio)

Hasta aquí lo que sé. Si ves que en alguno de esos puntos estoy equivocado, por favor, corrígeme.

Está bien pero...  eso son todas propiedades de una curva llamada espiral logarítmica. A los fines de calcular cual es la distancia o relación de distancias entre vueltas no te sirve para nada ==> Tenés que partir de la expresión matemática de la curva.

La mas sencilla es usando coordenadas polares (lo que usó el_manco)

[texx](a)\qquad\qquad r(\theta) = a\;e^{b \theta}[/texx]

Esa sola línea verifica TODO lo que escribiste anteriormente.
Tal vez el paso siguiente a dar sería que analices que representa gráficamente cada uno de sus parámetros antes de armar cualquier planilla.

Cita
Ahora lo que quisiera averiguar:
¿Cómo calcular el factor K de una espiral? Es decir, ¿por cuánto hay que multiplicar la longitud de un radio para encontrar el siguiente cruce de la espiral con el mismo radio?

Se deduce inmediatamente de  [texx](a)[/texx]

Cita
Me da igual si K se calcula a partir del grado de la espiral, o del ángulo con el radio, porque ambos casos serían complementarios, ambos casos me servirían.

El problema es que te dan una expresión para dos vueltas y vos después la usás para una :guiño:

Cita
Creo que el_manco lo entendió perfectamente cuando me respondió.
[texx]r(\theta+2\pi)-r(\theta)= . . . = r(\theta) * K[/texx]
La duda es cuánto vale K
Hasta ahora hemos probado
el_manco >> [texx]K = \dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1[/texx]
el_manco >> [texx]K = \dfrac{1}{tan(A)^{2\pi}}-1[/texx]
el_manco >> [texx]K = (e^{2\pi/tan(A)}-1)[/texx]
Fernando Revilla >> [texx]K = (e^{4\pi/\tan A}-1)[/texx]
Fernando Revilla >> [texx]K = (e^{4\pi b}-1)[/texx], pero ésta no me vale porque no está basada en el ángulo. O yo no la se interpretar.

Tu problema es esencialmente la interpretación de las fórmulas.   
De eso que escribiste, las dos primeras fueron rectificadas, y las otras corresponden a la diferencia relativa en una vuelta (3ra) y dos vueltas (4ta y 5ta) tomando A como el ángulo respecto a la recta radial (4ta).


Cita
De verdad que agradezco enormemente el esfuerzo que estáis haciendo por responderme, y dejad que os diga que no sabía que el problema fuera tan difícil, a pesar de que vosotros insistáis en que es muy fácil, pero es que yo soy de la época en que las calculadoras tenían manivela. (No es una broma. Las calculadoras tenían manivela)

¡Es que no tiene nada de difícil! Al contrario, es simple.

Ah! Las calculadoras con manivela se dejaron de usar durante la década del 60' . Acá hay unos cuantos de esa época (yo incluido)

Cita
Estoy seguro de que hay una fórmula directa para conseguirlo a partir del grado de la espiral o del ángulo con el radio.

¿Para conseguir que? 

1- ¿La distancia entre dos puntos separados una vuelta?

2- ¿La diferencia de distancias relativas al origen en una vuelta?

3- ¿La relación de distancias al origen en una vuelta?

4- ¿Alguna de esas pero en varias vueltas?

5- ¿Ninguna de estas?

Manipulando la ecuación  [texx](a)[/texx]  podés deducir lo que se te dé la gana, pero primero tenés que dejar claro qué.


Cita
Si podéis ayudarme estupendo, pero, lógicamente, probaré la fórmula que me deis con una serie de valores sucesivos para ver si el resultado es más o menos lógico.

O sea, tratar de entenderla jamás! :guiño:
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« Respuesta #22 : 28/07/2014, 06:55:47 am »

Hola

 Me siento un poco culpable porque por una acumulación de errores tontos he compliado una cuestión que es sencilla.

 Entonces si llamamos:

 [texx]A[/texx]=ángulo que forma la tangente a la espiral con el radio.
 [texx]B[/texx]=ángulo que forma la tangente a la espiral  con la circunferencia[texx]=\dfrac{\pi}{2}-A[/texx].

En cada vuelta el radio aumenta en una proporción:

[texx]\boxed{ \dfrac{r(\theta+2\pi)}{r(\theta)}=e^{2\pi/tan(A)}=e^{2\pi tan(B)}}[/texx]

o en cada vuelta el aumento absoluto del radio es:

[texx] \boxed{r(\theta+2\pi)-r(\theta)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1)=r(\theta)(e^{2\pi tan(B)}-1)}[/texx]

 Aplicado a los dos ejemplos que pones:

Espiral Áurea: Su tangente tiene un ángulo de 72'97º (redondeo a 73º) con el radio. Eso significa que es una espiral logarítmica de orden 17. Según tu fórmula, Fernando Revilla, me sale un factor de 45'60, pero de acuerdo a lo que se expone en el artículo, cada cuarto de vuelta se incrementa en Phi. Osea que en cuatro cuartos de vuelta se habrá incrementado en Phi^4 = 6'85.

[texx] \dfrac{r(\theta+2\pi)}{r(\theta)}=e^{2\pi/tan(72,97^o)}=6.85214[/texx]

Cita
Espiral del Nautilus: Su tangente tiene un ángulo de 80º respecto al radio. Si usamos tu fórmula da un factor de 8'17. Pero el factor de crecimiento es de 1'31 por cuarto de vuelta. La vuelta completa será 1'31^4 = 2'94.
Y también podemos observar a simple vista que cada vuelta es aproximadamente el triple de la anterior. No 8'17.

[texx] \dfrac{r(\theta+2\pi)}{r(\theta)}=e^{2\pi/tan(80^o)}=3.02798[/texx]

Espero que ahora quede claro.

Saludos.
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« Respuesta #23 : 28/07/2014, 07:40:59 am »

 Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso

Gracias por tu respuesta, la más completa y clara que había visto hasta ahora.

La verdad es que llevo dos horas escribiendo un largo mensaje con gráficos para ver si podía hacerme entender, y al ver tu respuesta es que lo que ya tenía escrito sobra.

Entiendo que la fórmula que yo buscaba es
[texx]\boxed{ \dfrac{r(\theta+2\pi)}{r(\theta)}=e^{2\pi/tan(A)}=e^{2\pi tan(B)}}[/texx]

Al trasladarla a la Hoja de Cálculo me da estos resultados:


El hecho de que coincidan tan perfectamente los dos factores que conocía me confirman que la fórmula es correcta.
Los cálculos pedestres que hice hace años debían estar mucho más equivocados de lo que yo pensaba. Antes pensaba que tendrían un error por decimales que se iría acumulando en cada ciclo, pero me temo que debí cometer algún error más. Ya lo repasaré y lo corregiré. (en realidad con tu fórmula ya no me hará falta pero quiero confirmar si cometí un error de lógica y dónde)

De nuevo te doy las gracias, y por mi parte quedo satisfecho con tu respuesta.
P.S.: Ya que me has picado la curiosidad, en cuanto pueda voy a intentar averiguar que es eso de las coordenadas polares. Parecen interesantes y útiles.

Fernando Revilla: Gracias por tu ayuda, y lamento que por no explicarme mejor nos hayamos visto envueltos en esta bizantina discusión.

Abdulai: Tenías razón. He cometido un error al expresarme. Exactamente al usar una preposición en vez de otra. He leído atentamente tus numerosos comentarios y, si te soy sincero, no entiendo tu sentido del humor, así que no contestaré a ellos.

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« Respuesta #24 : 20/09/2014, 03:10:35 am »

Gracias a la fórmula que me disteis he podido ampliar la información que ofrezco en mi página sobre un par de temas que me interesan bastante.

Cuando pedí vuestra ayuda no os dije exactamente para qué la necesitaba, y ahora que ya la he utilizado, le he sacado bastante partido y creo que aún le sacará más, creo que, además de mi agradecimiento, os debo decir para qué la he usado.

Para construir una Calculadora de Viajes Intergalácticos.
http://www.maslibertad.com/Calculadora-de-Viajes-Intergalacticos_p806.html

Si no veis la relación entre la fórmula que permita medir fragmentos de espiral y los viajes intergalácticos, podéis consultar otros artículos donde lo explico y a los que podéis acceder desde esa misma página.

Un saludo y de nuevo gracias.
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