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Autor Tema: Un problema de Espiral Logarítmica  (Leído 7066 veces)
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« : 22/07/2014, 03:30:00 pm »

Estoy buscando en Internet una fórmula que me permita calcular la distancia entre dos pasos sucesivos de una espiral logarítmica dependiendo del grado de la espiral.

Perdonadme mi ignorancia en matemáticas, pero es que realmente lo necesito para resolver un problema.

Por ser más claro, tengo una curva logarítmica de orden A(ángulo) que mide L(longitud) y su distancia hasta el centro es R(radio).
Buscando en Internet he podido averiguar que L = R / cos(A).

Pero lo que yo necesito saber es cómo aumenta R en dos vueltas sucesivas.

Por ejemplo, suponiendo que R valga un metro y A sea de 20º, cuánto medirá R al dar la espiral una vuelta completa.
Si podéis decirme cuál es esa fórmula o cómo la puedo averiguar, os lo agradecería.
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« Respuesta #1 : 23/07/2014, 07:03:44 am »

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En cuanto a tu pregunta, en coordenadas polares viene dada por:

[texx] r(\theta)=a\color{red}e^{b\theta}\color{black}[/texx]

 (siendo [texx]\theta[/texx] el ángulo y [texx]r[/texx] el radio).

 Lo que suele conocerse por el grado [texx]A[/texx] de la espiral es el ángulo que forma la tangente con el radio en cada punto y se cumple que:

[texx] cos(A)=\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}[/texx]

o equivalentemente:

[texx]\color{red} b=1/tan(A)\color{black}[/texx]

 Ahora el aumento del [texx]r[/texx] entre dos vueltas es:

[texx]\color{red} r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ae^{b\theta}(e^{2\pi b}-1)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1)\color{black}[/texx]

Saludos.

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« Respuesta #2 : 24/07/2014, 03:14:20 am »

Gracias por la ayuda, pero no se si la estoy interpretando correctamente porque no me sale un resultado lógico.

El problema parece estar en este trozo:

[texx]\dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1[/texx]

Probando el valor 12º  me sale un arctan de 4'7 que al elevarlo a [texx]2\pi[/texx] me da 16.806'5.
De aquí saco la inversa, 0'0000595 y no sigo porque el resultado ya sería negativo.

¿Qué es lo que estoy haciendo mal?
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« Respuesta #3 : 24/07/2014, 04:42:35 am »

Hola

Gracias por la ayuda, pero no se si la estoy interpretando correctamente porque no me sale un resultado lógico.

El problema parece estar en este trozo:

[texx]\dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1[/texx]

Probando el valor 12º  me sale un arctan de 4'7 que al elevarlo a [texx]2\pi[/texx] me da 16.806'5.
De aquí saco la inversa, 0'0000595 y no sigo porque el resultado ya sería negativo.

El arctan que has hallado está mal; supongo que lo has hecho con  una calculadora y no has tenido en cuenta que usualmente éstas trabajan en radianes no en grados. Entonces:

[texx]12^o=\dfrac{12*Pi/180}[/texx] radianes[texx]=\dfrac{\pi/15}[/texx] radianes

Por tanto te quedaría:

[texx]\dfrac{1}{arctan(\pi/15)^{2*Pi}}-1=20186.1[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 24/07/2014, 12:10:38 pm »

Tenías razón. Tanto la calculadora de Windows como el Excel trabajan en Radianes, por eso no me daban los resultados correctos.
No obstante, al corregir este error y aplicar tu fórmula me sale un número demasiado grande, de más de 20.000.
Como no me creo que pueda salir una cantidad tan grande meto los datos en una tabla de Excel.

  Grados      Arctan      Pot 2PI     Inversa     Menos 1 
  x     a=atan(radianes(x))     b=potencia(a;2*PI)     c=1 / b     d=c - 1 
120,2064550,00005020187,13787320186,137873
150,2560530,0001925218,8585745217,858574
300,4823480,01024597,61246896,612468
450,6657740,07761212,88461011,884610
600,8084490,2628843,8039642,803964
750,9184310,5858871,7068140,706814
901,0038851,0246610,975933-0,024067

No me cuadra que el Arcotangente de 45º sea 0'66 cuando la tangente es 1, como debe ser. ¿La inversa no debería ser también 1?
No sé si estoy metiendo la pata también con eso.

No obstante veo que la progresión final es muy elevada al principio y luego desciende con mucha rapidez.

Curiosamente, el valor correspondiente a los 45º se aproxima bastante a una estimación muy pedestre que hice hace tiempo, pero todos los demás valores están invertidos.
Se supone que una espiral, mientras mayor sea su grado, más crecerá antes de dar una vuelta, y con esta progresión parece que es al revés.

¿Es que me falta hacer algún cálculo más o es que he entendido mal lo de la función arcotangente?

P.D.
Después de escribir todo esto, miro en Internet y veo que he entendido mal el concepto de arcotangente.

No contestes todavía, voy a ver si lo estudio bien y entiendo el fallo antes de molestarte de nuevo.
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« Respuesta #5 : 24/07/2014, 08:03:04 pm »

Un fallo mío.
En alguna parte leí que la función arcotangente es la inversa de tangente, e incluso vi la fórmula
[texx]arctan = tan^{-1}[/texx] de donde deduje que [texx]arctan = \dfrac{1}{tan}[/texx]

Ya he visto que estaba entendiendo mal el concepto de inversa, y que esto es más difícil de lo que pensaba.

Ahora la confusión la tengo sobre la fórmula que me diste.
[texx]r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1\right)[/texx]

El caso es que nunca he manejado coordenadas polares así que la parte [texx]ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)[/texx] me la salté por completo y pensé que la parte final era la importante y la que me podría dar el resultado que buscaba.

Lamento decirlo, pero hasta ahora aún no lo he conseguido.

Según lo que he entendido, a la función tangente se le da un ángulo y devuelve un número.
La función arcotangente es la inversa, osea que se la da un número y devuelve un ángulo.
Sin embargo en tu fórmula usas la expresión [texx]arctan(A)[/texx].

Como yo empecé a usar la letra A para referirme al ángulo, pensaba que la usarías con el mismo significado, pero a la función arcotangente no se le puede dar un ángulo. Entonces ¿qué significa la A en esa fórmula?
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« Respuesta #6 : 26/07/2014, 04:04:14 am »

Hola a todos.

Primero de todo, gracias, el_manco, por tu ayuda, aunque temo que la formula que me diste no puede ser correcta. O yo la estoy interpretando de forma errónea.

¿La has tomado de una fuente fiable? ¿O la has desarrollado tú mismo y existe alguna posibilidad de que esté equivocada?

Por desgracia no tengo conocimientos matemáticos suficientes para resolver este problema, aunque sí para intentar usar aproximaciones, y por ese procedimiento calculé hace años que para una espiral logarítmica de 45º la distancia entre dos vueltas sucesivas sería unas diez o doce veces su radio original.
Lógicamente, a más grados la distancia sería mayor y a menos grados menor.
Los casos extremos, 0º representaría una circunferencia y la distancia sería 0.
Y 90º representaría una recta y la distancia sería infinito.

Como has podido ver en la tabla de excel que incluí aplicando la fórmula que me has dado, la progresión está al contrario, dando un resultado que tiende a infinito en los 0º y a 0 en los 90º.

Primero supuse que tal vez a la fórmula le falte algún detalle, o que yo estaba entendiendo mal el concepto de grado y al hacerlo haya confundido el grado de la espiral con su complementario.
Examinando tu primer mensaje veo que dijiste:
Cita
Lo que suele conocerse por el grado A de la espiral es el ángulo que forma la tangente con el radio en cada punto
.
Y eso es lo contrario de lo que dice Wikipedia y varias páginas que he examinado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica, Sección Características, dice:
Cita
El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen

Si fuera sólo la Wikipedia no me fiaría mucho pero la misma definición se hace (y se asume) en varias otras páginas que he consultado.

A pesar de todo, si asumo que ha sido un error al interpretar el concepto de Grado de la Espiral, tu fórmula podría ser exacta, pero usando el complementario del ángulo deseado.

Ya he dicho que 45º me da un resultado muy parecido al que yo esperaba. En cambio, para 15º me da un resultado demasiado elevado, pero si uso el complementario, 75º, me sale un resultado, 0'70, que este sí que se parece a lo que yo soy capaz de deducir por métodos más pedestres.

Sigo sin entender por qué funciona, ya que la última duda que te planteé:
Cita
Según lo que he entendido, a la función tangente se le da un ángulo y devuelve un número.
La función arcotangente es la inversa, osea que se la da un número y devuelve un ángulo.
Sin embargo en tu fórmula usas la expresión arctan(A).

Como yo empecé a usar la letra A para referirme al ángulo, pensaba que la usarías con el mismo significado, pero a la función arcotangente no se le puede dar un ángulo. Entonces ¿qué significa la A en esa fórmula?
sigo sin entenderla.
Pero tampoco entiendo cómo funcionan los televisores LED y he aprendido a usarlos.

Asumo que la respuesta a mi pregunta:
Cita
la distancia entre dos pasos sucesivos de una espiral logarítmica dependiendo del grado de la espiral
es:
[texx]r(\theta+2\pi)-r(\theta)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{arctan(Radianes(90-A))^{2\pi}}-1\right)[/texx]

Te agradecería, el_manco, ya que has sido tú el que me ha acompañado en esta odisea, me confirmaras si esta última fórmula es correcta o debo seguir :BangHead:.

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« Respuesta #7 : 26/07/2014, 05:47:14 am »

Hola

Primero de todo, gracias, el_manco, por tu ayuda, aunque temo que la formula que me diste no puede ser correcta. O yo la estoy interpretando de forma errónea.

¿La has tomado de una fuente fiable? ¿O la has desarrollado tú mismo y existe alguna posibilidad de que esté equivocada?

No tengo ahora tiempo de explayarme; el caso es que cometí un error tonto. ¡Perdona! En lugar de arcotangente es tangente. Sería:

[texx]\color{red}\xcancel{ r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{\color{red}tan(A)\color{black}^{2\pi}}-1\right)}\color{black}[/texx]

Hasta el lunes no puedo revisarlo con calma.

Saludos.

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« Respuesta #8 : 27/07/2014, 03:00:33 am »


No tengo ahora tiempo de explayarme; el caso es que cometí un error tonto. ¡Perdona! En lugar de arcotangente es tangente. Sería:

[texx] r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{\color{red}tan(A)\color{black}^{2\pi}}-1\right)[/texx]

Hasta el lunes no puedo revisarlo con calma.
Cuando lo revises, te aconsejo que pruebes a aplicarlo en una Hoja de Cálculo, como he hecho yo.

Grados    Tan    Pot 2PI   Inversa   Menos 1 
x   a=tan(radianes(x))   b=potencia(a;2*PI)   c=1 / b   d=c - 1 
120,21250,00005916811,3316810,33
150,26790,0002553923,303922,30
300,57730,03170131,5430,54
451,00001,0000001,000,00
601,732031,54420,031-###
753,73203923,300,000255-###
90Infinito-###-###-###

Me parece que esta fórmula no puede ser correcta.
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« Respuesta #9 : 27/07/2014, 04:22:33 am »

Hola

 ¡Estoy gafado con este post! Las prisas son malas.

 Con la notación que uso después la ecuación en polares es:

[texx] r(\theta)=ae^{b\theta}[/texx]

 Y entonces el aumento del [texx]r[/texx] entre dos vueltas es:

[texx] r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ae^{b\theta}(e^{2\pi b}-1)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1)[/texx]

Saludos.

P.D. Aunque te sonará ridículo después de tantos errores; en realidad la cuestión es muy sencilla. Lo que ocurre que mezclé cierto despiste y dos notaciones diferentes. Espero no haberme equivocado ahora...
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« Respuesta #10 : 27/07/2014, 07:07:10 am »

¡Estoy gafado con este post! Las prisas son malas.
Con la notación que uso después la ecuación en polares es:
[texx] r(\theta)=ae^{b\theta}[/texx]
Y entonces el aumento del [texx]r[/texx] entre dos vueltas es:
[texx] r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ae^{b\theta}(e^{2\pi b}-1)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1)[/texx]

P.D. Aunque te sonará ridículo después de tantos errores; en realidad la cuestión es muy sencilla. Lo que ocurre que mezclé cierto despiste y dos notaciones diferentes. Espero no haberme equivocado ahora...
Me temo que sí.

Al trasladar esta última fórmula a una hoja de cálculo me da otra vez resultados que no pueden ser ciertos. Envío los resultados en un archivo PNG.


Si quieres déjalo el fin de semana. Yo voy a intentar resolverlo por mis famosos métodos pedestres.
Para un radio R calcular la longitud del cateto opuesto para un ángulo de 1º. Sobre él superponer un triángulo rectángulo con la inclinación deseada. Calcular el incremento de R y repetir 365 veces.
El resultado no será muy preciso porque los errores decimales se irán acumulando, pero por lo menos se aproxima algo.

Gracias y que descanses.

* Resultados.PNG (2.39 KB - descargado 1402 veces.)
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« Respuesta #11 : 27/07/2014, 08:34:20 am »

Y entonces el aumento del [texx]r[/texx] entre dos vueltas es:[texx] r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ae^{b\theta}(e^{2\pi b}-1)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1)[/texx]

Es correcto, salvo el despiste de las dos vueltas. La distancia entre los puntos correpondientes es [texx]r(\theta)(e^{4\pi/\tan A}-1).[/texx]
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« Respuesta #12 : 27/07/2014, 08:52:27 am »

Gracias, pero no lo creo.
Trasladando esa fórmula a Excel me salen estos valores.


Sencillamente no puede ser que a mayor ángulo el resultado sea menor, pero los resultados para 12º son imposibles.


* MasLibertad_EspiralLogaritmica2.png (2.72 KB - descargado 1334 veces.)
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« Respuesta #13 : 27/07/2014, 09:12:58 am »

Gracias, pero no lo creo.

Te aseguro, por pasiva, por activa y por perifrástica  :sonrisa: , lo siguiente:

La distancia entre los puntos [texx](\theta,r(\theta))[/texx] y [texx](\theta+4\pi,r(\theta+4\pi))[/texx] de la espiral logarítmica [texx]r(\theta)=ae^{b\theta}[/texx] es [texx]r(\theta)(e^{4\pi b}-1).[/texx]

Ahora, debes especificar si el ángulo [texx]A[/texx] del que estamos hablando es el mismo.

P.D. Por razones festivas no podré entrar en el foro hasta dentro de unas horas. Veamos que está ocurriendo porque como dice el_manco, la cuestión es muy sencilla (salvo que no estemos entendiendo lo que pides)
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« Respuesta #14 : 27/07/2014, 10:30:56 am »

Gracias, pero no lo creo.
Trasladando esa fórmula a Excel me salen estos valores.
........................................
Sencillamente no puede ser que a mayor ángulo el resultado sea menor, pero los resultados para 12º son imposibles.

En la fórmula que estás aplicando A es el ángulo de la intersección de la espiral con una recta radial. Pero en tu primer mensaje hablás del orden de la espiral, que es el ángulo de la intersección entre la espiral y una circunferencia centrada en el origen.

Bah... lo mismo pero respecto a una recta normal a la anterior  ==> en la planilla Excel escribí [texx]\dfrac{1}{\tan \theta}[/texx]  en lugar de [texx]\tan \theta[/texx]
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« Respuesta #15 : 27/07/2014, 12:07:15 pm »

Perdonad por la brusquedad de mi último mensaje. Tenía que salir pitando y tal vez pequé de demasiado brusco.

Fernando Revilla y Abdulai: Si leéis los anteriores mensajes veréis que siempre que hablo del ángulo de la espiral me refiero al ángulo que mantiene toda tangente con la circunferencia, no con el radio.
Así es como he visto que se indica en varios artículos, como la Wikipedia y otros.

Cita de: Wikipedia
El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)). Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 1) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea recta desde el origen.

Esto ya lo comenté más arriba con el_manco. Entonces, cuando digo una espiral de 12º es lo mismo que una espiral de grado 12. Como los brazos espirales de la galaxia, que son espirales de grado 12. La órbita del Sol alrededor de la galaxia cruza los brazos espirales en un ángulo de 12º.

¿Estoy confundiendo los términos?

Aún cuando fuera así, si asumo que debo coger el complementario del ángulo, tampoco me parece correcto.
En el caso de una espiral de 15º, por ejemplo, si le aplico esta última fórmula me sale un resultado de 28.
¿Significa que al dar una sola vuelta su radio se ha multiplicado por 28?
Me parece muy exagerado.

De nuevo me pilla un cambio de geolocalización, volveré más tarde.
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« Respuesta #16 : 27/07/2014, 01:02:34 pm »

Perdonad por la brusquedad de mi último mensaje. Tenía que salir pitando y tal vez pequé de demasiado brusco.

Fernando Revilla y Abdulai: Si leéis los anteriores mensajes veréis que siempre que hablo del ángulo de la espiral me refiero al ángulo que mantiene toda tangente con la circunferencia, no con el radio.
Así es como he visto que se indica en varios artículos, como la Wikipedia y otros.

Claro, pero en la fórmula que utilizaste en la planilla Excel no es ese. Por eso la aclaración.

Cita
Esto ya lo comenté más arriba con el_manco. Entonces, cuando digo una espiral de 12º es lo mismo que una espiral de grado 12. Como los brazos espirales de la galaxia, que son espirales de grado 12. La órbita del Sol alrededor de la galaxia cruza los brazos espirales en un ángulo de 12º.

¿Estoy confundiendo los términos?

No.


Cita
Aún cuando fuera así, si asumo que debo coger el complementario del ángulo, tampoco me parece correcto.
En el caso de una espiral de 15º, por ejemplo, si le aplico esta última fórmula me sale un resultado de 28.
¿Significa que al dar una sola vuelta su radio se ha multiplicado por 28?
Me parece muy exagerado.

El error es pensar que los brazos de la galaxia conservan ese ángulo a cualquier distancia del centro.

Una espiral logarítmica puede tener un crecimiento MUY grande. Pensar que con un orden 12 vas a poder representar elegantemente una galaxia es exceso de optimismo.

Sugerencia:  Olvidate del ángulo del Sol y usá un orden que dé resultados gráficos satisfactorios.
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« Respuesta #17 : 27/07/2014, 01:04:10 pm »

¿Significa que al dar una sola vuelta su radio se ha multiplicado por 28? Me parece muy exagerado.

En absoluto exagerado. Por ejemplo, para [texx]a=1,[/texx] [texx]A=15^0[/texx], obtenemos [texx]b=1/\tan 15^0\approx{3.73}.[/texx] La espiral es por tanto [texx]r=e^{3.73\;\theta}[/texx], cuya gráfica se sale de este mundo:



* esplog.jpg (251.36 KB - descargado 1626 veces.)
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« Respuesta #18 : 27/07/2014, 01:44:54 pm »

Ya he cambiado de geolocalización y, atendiendo el consejo de Abdulai, antes de responder echo un vistazo a Google para ver algunos ejemplos que sean más fáciles de visualizar.

Si os parece, podéis consultar este interesante enlace
http://matematicainteractiva.com/concha-de-nautilus-espiral-logaritmica-pero-no-aurea
En él puedo entender lo siguiente:

Espiral Áurea: Su tangente tiene un ángulo de 72'97º (redondeo a 73º) con el radio. Eso significa que es una espiral logarítmica de orden 17. Según tu fórmula, Fernando Revilla, me sale un factor de 45'60, pero de acuerdo a lo que se expone en el artículo, cada cuarto de vuelta se incrementa en Phi. Osea que en cuatro cuartos de vuelta se habrá incrementado en Phi^4 = 6'85.

Si miras el dibujo de una espiral áurea puedes ver a ojo que el radio en una vuelta es como seis veces más grande que el radio en la vuelta anterior, pero no 45.

Espiral del Nautilus: Su tangente tiene un ángulo de 80º respecto al radio. Si usamos tu fórmula da un factor de 8'17. Pero el factor de crecimiento es de 1'31 por cuarto de vuelta. La vuelta completa será 1'31^4 = 2'94.
Y también podemos observar a simple vista que cada vuelta es aproximadamente el triple de la anterior. No 8'17.

A mí me da la impresión, y no quiero molestarte con esto, que tu fórmula no se corresponde con los resultados que yo esperaba.

A ver si la culpa va a ser de que no estoy haciendo correctamente los cálculos de tu fórmula.

¿Puedes confirmarme si para los ángulos de 73º y 80º salen unos resultados respectivos de 45'60 y 8'17?

¿O a tí te salen resultados más parecidos a 6'85 y 2'94?

Si es así es que no estoy haciendo bien los cálculos de tu fórmula y en tal caso me rasgaré las vestiduras y me arrancaré los cabellos. (Menos mal que tengo pocos)
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« Respuesta #19 : 27/07/2014, 04:46:26 pm »

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Espiral Áurea: Su tangente tiene un ángulo de 72'97º (redondeo a 73º) con el radio. Eso significa que es una espiral logarítmica de orden 17. Según tu fórmula, Fernando Revilla, me sale un factor de 45'60, pero de acuerdo a lo que se expone en el artículo, cada cuarto de vuelta se incrementa en Phi. Osea que en cuatro cuartos de vuelta se habrá incrementado en Phi^4 = 6'85.

Si miras el dibujo de una espiral áurea puedes ver a ojo que el radio en una vuelta es como seis veces más grande que el radio en la vuelta anterior, pero no 45.

Y si leés tu primer mensaje vas a encontrar: "Pero lo que yo necesito saber es cómo aumenta R en dos vueltas sucesivas" y los 45 corresponden a la diferencia en dos vueltas.

Si en una parte hablás de dos vueltas y en otras de una,  de la distancia entre entre pasos sucesivos y otras de la relación de distancias, y después metés en una planilla una fórmula sin importarte que representan sus parámetros, es lógico que el resultado no sea el deseado.
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