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Autor Tema: Variación acotada  (Leído 494 veces)
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hector
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« : 28/06/2014, 06:30:18 pm »

Hola,

Sea [texx]f[/texx] de variación acotada sobre [texx][a,b][/texx] a valores finitos ([texx][a.b][/texx] es un intervalo finito). Entonces [texx]f^{\prime}[/texx] es medible y [texx]\left |{\displaystyle\int_{a}^{b} f^{\prime}dx }\right |\leq{}T_{f}[a,b][/texx].

Prueba:

Como [texx]f[/texx] es de variacion acotada entonces [texx]f=g-h[/texx] donde [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx] son funciones monotonas crecientes definidas sobre el mismo intervalo . Por el Teorema de diferenciacion de Lebesgue [texx]f^{\prime}[/texx] existe a.e. Por lema, [texx]g^{\prime}[/texx] y[texx] h^{\prime}[/texx] existen a.e y son medibles. como [texx]f=g-h[/texx], entonces [texx]f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime}[/texx] a.e por tanto [texx]f^{\prime}[/texx] es medible. por otro lado (por el mismo lema)

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}g^{\prime}dx\leq{}g(b)-g(a) y \displaystyle\int_{a}^{b}h^{\prime}dx\leq{}h(b)-h(a)[/texx]

Despues de todo esto obtengo que


[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f^{\prime}dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g^{\prime}dx-\displaystyle\int_{a}^{b}h^{\prime}dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g^{\prime}dx+\displaystyle\int_{b}^{a}h^{\prime}dx\leq{}g(b)-g(a)+h(a)-h(b)=T_f [a,b]
[/texx]
El otro lado de la desigualdad es el que no logro conseguir- 

El lema al que hago referencia es el siguiente.

Si f es monótona creciente a valores finitos definida sobre un intervalo finito [a,b], entonces [texx]f^{\prime}[/texx] es medible y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f^{\prime}dx\leq{}f(b)-f(a)[/texx]

Ps. En realidad el ejercicio (el que coloque al principio) que tengo que hacer es el siguiente, enuncie y demuestre un Lema análogo al dado, usando [texx]f[/texx] de variación acotada.
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