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Autor Tema: Demostrar que un conjunto de funciones es compacto con norma infinito.  (Leído 530 veces)
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lindtaylor
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« : 13 Mayo, 2014, 19:45 »

Me complica demostrar el siguiente problema, tiene mucho índice.

Sea [texx]F=\left\{f_j:\mathbb{R}\to \mathbb{R}/ j\in I, f_j\ continua\right\}[/texx] una familia indexada por [texx]I[/texx] y los elementos son equicontinuos ([texx]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/texx] tal que [texx]|x-y|<\delta\Rightarrow |f_j(x)-f_j(y)|<\epsilon \forall j\in I[/texx]).
Dado [texx]K\subset\mathbb{R}[/texx] compacto y [texx]j_0\in I[/texx] fijo, defina el conjunto
[texx]F_{j_0}=\left\{h:I\to\mathbb{R}/ h(j)=f_j(h(j_0)) \forall j\not= j_0, h(j_0)\in K\right\}[/texx].
Suponga que [texx]||f_j||_\infty \leq 88 \forall j\in I[/texx]. Estudie la compacidad de [texx]F_{j_0}[/texx] con respecto a la norma [texx]||.||_\infty.[/texx]

En este caso no me basta probar que el conjunto es cerrado y acotado pues la dimensión donde está no es finita cierto?
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numbsoul
Nahuel Albarracín
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« Respuesta #1 : 18 Mayo, 2014, 21:16 »

¿[texx]I[/texx] es el intevalo [texx][0,1][/texx]?. Lo que tendrías que ver primero es que un elemento de [texx]F_{j_{0}}[/texx] es una función acotada.
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