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Autor Tema: Continuidad de la solución del problema de valor inicial. Valor inicial.  (Leído 2519 veces)
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lindtaylor
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« : 14/05/2014, 04:35:23 am »

Hola. Estaba viendo problemas del libro Perko y me topé con el siguiente problema:

Sea A matriz de [texx]n\times n[/texx] teniendo autovalores reales y distintos. Sea [texx]\phi(t,x_0)[/texx] la solución del problema de valor inicial [texx]\dot{x}=Ax, x(0)=x_0[/texx].
Muestre que para cada t real fijo, [texx]\lim_{y_0\to x_0} \phi(t,y_0)=\phi(t,x_0).[/texx]

Tengo lo siguiente:
Como A tiene n autovalores distintos reales, entonces es diagonalizable, y el sistema [texx]\dot{y}=diag[\lambda_1,\ldots, \lambda_n]y[/texx]  tiene solución [texx] y(t)=[e^{\lambda_1 t}c_1,\ldots, e^{\lambda_n t}c_n][/texx] con c_i constantes.
Luego [texx]x(t)[/texx] está dado por [texx]x(t)=Pdiag[e^{\lambda_1 t},\ldots, e^{\lambda_n t}]P^{-1}x_0[/texx].
Antes de todo eso, se hizo el cambio [texx]y(t)=P^{-1}x(t)[/texx], y de acá veo algo que es extraño. Si [texx]y_0\to x_0[/texx], entonces [texx]P^{-1}\to I[/texx], lo cual no puede pasar, pues [texx]P^{-1}[/texx] es fijo...
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Fallen Angel
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« Respuesta #1 : 14/05/2014, 10:09:37 am »

No es correctoeso que dices al final, lo de que [texx]P^{-1}\rightarrow I[/texx].
Para el sistema [texx]x'(t)=Ax(t)[/texx] tienes una familia de soluciones  de la forma [texx]x(t)[/texx]
Si ahora impones una condición incial, [texx]x(0)=x_{0}[/texx], de toda esa familia de soluciones existe una única que cumple tu condición, para cualquier [texx]x_{0}\in \mathbb{R}^{n}[/texx]
De esta forma añadimos otro parámetro a nuestras soluciones, de forma que tenemos  [texx]\phi (z)[/texx] la función que a cada [texx]z[/texx]
le asocia la solución del problema [texx]x'(t)=Ax(t), \ x(0)=z[/texx].
Lo que te piden es que muestres la continuidad de [texx]\phi[/texx].

Creo que te habías liado un poco con la notación que usan y estabas confundiendo algún significado, espero que esto pueda aclararte algo, si aún así no consigues probarlo no tienes más que seguir preguntando. :sonrisa:

Un saludo.
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La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré
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