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Autor Tema: Pregunta de Derivación  (Leído 659 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
elmoreno
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« : 29 Abril, 2014, 15:23 »

  Hola!

No he podido encontrar una función  [texx]f: \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] derivable que cumpla las siguientes características:

1. Que [texx]\forall{x \in \mathbb{R}}[/texx], [texx]f(x)\neq{x}[/texx],
2. Que sea [texx]C^\infty[/texx] y que
3. [texx]\left |{f'(x)}\right |<1[/texx]

Cualquier sugerencia les agradecería.
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soneu
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« Respuesta #1 : 29 Abril, 2014, 16:19 »

Normal que no la hayas podido encontrar, porque no existe. Considera la función [texx]h(x)=f(x)-x.[/texx] Se tiene que [texx]h(-1)=f(-1)+1>0[/texx] y [texx]h(1)=f(1)-1<0.[/texx] Por el teorema de Bolzano existe [texx]c\in (0,1)[/texx] tal que [texx]h(c)=0,[/texx] es decir,  [texx]f(c)=c.[/texx]

Saludos
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yotas
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« Respuesta #2 : 30 Abril, 2014, 01:16 »

Sí existe:

[texx]f(x)=x-\arctan x+\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx]

su derivada

[texx]f'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}[/texx]

tenemos [texx]|f'(x)|=\left|\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}\right|<1[/texx].

Pero si hay [texx]f(x)=x[/texx] deberemos tener:

[texx]x=x-\arctan x+\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx]

que implica

[texx]\arctan x=\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx]

que es imposible.  :sonrisa_amplia:
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.
soneu
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« Respuesta #3 : 30 Abril, 2014, 04:46 »

El enunciado dice [texx]\left |{f(x)}\right |<1.[/texx] Y [texx]f(0)=0-\arctan 0+\displaystyle\frac{\pi}{2}>1.[/texx]
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« Respuesta #4 : 30 Abril, 2014, 08:47 »

¿Cuál es entonces el propósito de ser de clase [texx]C^\infty[/texx]?
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.
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