Polinomio "especial"

[carsecor]

Este problema ha salido recientemente en un concurso que organizan en mi facultad, y bueno, me ha parecido un problema curioso y asequible.

Lo titulan "Álgebra de diseño"  :

Encuentra, para cada n mayor o igual que 2 , un polinomio p(x) de grado n , que no tenga ningún coeficiente entero , y tal que la imagen de cada número entero , sea otro número entero (ejemplo : p(x)= 0.5x^2 - 3.5x ). ¿ Qué ocurrirá para n=1? 

Observación:

 Notar que ningún coeficiente que acompañe a la x puede ser 0 (por ser entero), pero el término independiente no debe existir ( lo hacemos obligadamente cero) puesto que p(0)=b ( término independiente) y b debe ser entero, pero por otro lado, los coeficientes no pueden serlo. Así que lo olvidamos y trabajamos con polinomios sin término independiente.

[Nineliv]

Hola carsecor.
De momento tengo un polinomio para el grado 3, también un método que parece funcionar para cualquier grado pero extremadamente farragoso y alguna hipótesis que todavía no he demostrado o refutado.

Este es el polinomio que he encontrado:

p3(x) = 5/3x – 5/2x² + 5/6x³.

La hipótesis es que los coeficientes del polinomio pn(x) = a1x + a2x² + … + anxn tienen signos alternos. Tengo alguna idea más pero de momento me las guardo porque hasta el viernes a las 18:30 hay tiempo.

Un saludo. Si consigo un polinomio de grado 4 lo pondré.

[Nineliv]

Por lo visto mi máquina de generar polinomios funciona pero debería demostrar que es así.

Unos especímenes más, de grados 4 y 5, son:

p4(x) = – 5/4x + 55/24x² – 5/4x³ + 5/24x4;
p5(x) = 7/5x – 35/12x² + 49/24x³ – 7/12x4 + 7/120x5.

Hasta pronto!!
Nineliv

[xhant]

Notar que 1/2 x^n + 1/2 x es siempre entero para cualquier entero x y cualquier n (mirar la paridad de x).

Observar ademas que si tienen los polinomios p2 de grado 2 y p3 de grado 3, que cumplen las propiedades pedidas. Entonces es posible construir un polinomio pn de grado n, que tambien cumple las propiedades pedidas, multiplicando adecuadamente p2 y p3.

[carsecor]

Yo he encontrado uno general explicitamente, está relacionado con ... la combinatoria.  A ver encuentran algo tirando por ahí. 

[Nineliv]

Hola xhantt.

Es cierto que esos polinomios llevan los enteros en los enteros pero no cumplen que todos sus coeficientes son no-enteros. Hoy apareció una corrección en la facultad indicando que en el enunciado del ejercicio hay un error pero no se indica cuál es. Por eso han propuesto un contraproblema que dice así:

Encuentra un polinomio como los del ejercicio anterior que tenga a lo sumo un coeficiente nulo, y además:
a) que tenga todos sus coeficientes distintos.
b) que tenga todas sus raíces distintas.
c) que cumpla las dos propiedades anteriores.

Yo, sin embargo no he encontrado ese error y he estado construyendo polinimios que parecen cumplir lo pedido. Como no he demostrado que mi método funciona podría ser que funcione sólo en apariencia pero que para algún entero falle. De momento voy a poner un polinomio más de los que escupe mi algoritmo.

p8(x) = – 11/8x + 3993/1120x2 – 5159/1440x3 + 10637/5760x4 – 77/144x5 + 253/2880x6 – 11/1440x7 + 11/40320x8

Saludos
NINELIV

[carsecor]

Cierto,  afortunadamente mi método sirve para ese contraproblema, ya que esas hipótesis que no se dijeron en el primer enunciado ya las supuse, exceptuando la a) , que también se cumple.

[Nineliv]

El mío en cambio no, mira mi p4, aunque sí que cumple b), y por otro lado he conseguido una fórmula general para mis pn (menos mal)

Al menos acabo de probar que pn(Z) está incluído en Z.

¿Podrías escribir alguno de los polinomios que te salen a ti? Sería interesante ver alguno de ellos, por supuesto no la fórmula que dices tener. En concreto uno de grado 4 con los coeficientes distintos.

Saludos

[xhant]

Outch! ;-(

Seguramente el que tiene en mente carsecor es pn(x) = x(x+1)(x+2)..(x+n-1) / n!.

[carsecor]

Eso es , pero falla para n=2 y n=4 ....   

Creía por precipitación que para n >4 podría probar por inducción que no falla, pero las cosas no son tan fáciles como parecían ...

[carsecor]

Por supuesto, me refería a que fallaba en lo de los coeficientes distintos, en lo demás funciona perfectamente , y su ventaja es que es muy fácil probarlo todo.

[xhant]

Dado un n fijo definamos:

Sea pn(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)/n! = (xn + an-1xn-1 + ... + a1x)/n!. Cumple casi todo excepto garantizar que todos los coeficientes son distintos.

Sea qn(x)=x(x+k)(x+2k)...(x+(n-1)k)/n!, con k a definir.

Si suponemos que k es primo con ai y tambien con n!, además le tenemos que pedir que en modulo sea mayor que 1 entonces el polinomio qn cumple todo lo pedido. Es fácil verificar que todos los coeficientes son distintos y no nulos (recordar que los coeficientes son polinomios homogeneos en las raices), las raices son todas distintas, lo que es no es facil es ver que siempre da entero para x entero, pero tampoco es demasiado dificil ;-), (pensar en las potencias primas que dividen a n!).

[carsecor]

Ese k se puede escoger como k=p , con p cualquier primo mayor que n! , y así sale todo . Muy buena variación con respecto al p_n  , xhantt.

[xhant]

¿Pero no podría pasar que alguno de los coeficientes sea múltiplo de p?