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Autor Tema: Pregunta de Derivación  (Leído 793 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
elmoreno
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« : 29 Abril, 2014, 15:23 »

  Hola!

No he podido encontrar una función  [texx]f: \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] derivable que cumpla las siguientes características:

1. Que [texx]\forall{x \in \mathbb{R}}[/texx], [texx]f(x)\neq{x}[/texx],
2. Que sea [texx]C^\infty[/texx] y que
3. [texx]\left |{f^{(1)}(x)}\right |<1[/texx]

Cualquier sugerencia les agradecería.
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elcristo
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« Respuesta #1 : 29 Abril, 2014, 15:44 »

Hola.

Yo creo que [texx]f(x) = \displaystyle\frac{1}{2}x + 1[/texx] lo cumple todo.

Es cierto que [texx]f(x) \neq{}x[/texx] para todo [texx]x[/texx].
También se cumple que [texx]f'(x)<1[/texx] porque [texx]f'(x) = \displaystyle\frac{1}{2}<1[/texx]

Y por último, el punto en el que me entran dudas, es en que sea [texx]C^{\infty}[/texx] porque en algunas clases que he dado, nos dijeron que 0 lo puedes seguir derivando cuanto quieras sin ningún problema, que sigue dando 0, pero no tiene mucho sentido. Así que si no somos muy estrictos, yo creo que esta puede valer.

Saludos.
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teeteto
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Dormirás por una eternidad ¡Despierta!


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« Respuesta #2 : 29 Abril, 2014, 16:03 »

[texx]f(2)=2[/texx]
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Debemos saber...sabremos (David Hilbert)
elmoreno
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« Respuesta #3 : 29 Abril, 2014, 16:13 »


Yo creo que [texx]f(x) = \displaystyle\frac{1}{2}x + 1[/texx] lo cumple todo.


Se cruza con la función identidad.
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soneu
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« Respuesta #4 : 29 Abril, 2014, 16:22 »

Esta pregunta está duplicada. La respuesta está en la gemela.

EDITO: Juraría haber leido [texx]\left |{f(x)}\right |<1[/texx] en vez de [texx]\left |{f^{(1)}(x)}\right |<1[/texx]
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elcristo
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« Respuesta #5 : 29 Abril, 2014, 17:57 »

Esta pregunta está duplicada. La respuesta está en la gemela.

Cita
Normal que no la hayas podido encontrar, porque no existe. Considera la función [texx]h(x)=f(x)-x.[/texx] Se tiene que [texx]h(-1)=f(-1)+1>0[/texx] y [texx]h(1)=f(1)-1<0.[/texx] Por el teorema de Bolzano existe [texx]c\in (0,1)[/texx] tal que [texx]h(c)=0,[/texx] es decir,  [texx]f(c)=c.[/texx]

Saludos

Respondo aquí, ya que ha hablado más gente.

Vale, la función que yo puse veo que no lo cumple todo, sin embargo, intuitivamente se me ocurre una que lo pueda cumplir.

Una función que tenga asíntota oblicua la recta [texx]y=x[/texx] cuando [texx]x[/texx] tiende a [texx]-\infty[/texx] y que cuando [texx]x[/texx] tiende a [texx]+\infty[/texx]haga lo que quiera siempre que no tenga pendiente mayor que uno. Teóricamente debe existir, porque se puede dibujar esa función (lo voy a decir de una forma muy tosca, pero es que formalizarlo no sé muy bien) "sin levantar el lápiz del papel y sin que tenga esquinas"
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #6 : 29 Abril, 2014, 20:39 »

Una propuesta viendo lo que dice elcristo:

[texx] f(x) = x + \dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{1}{1+e^x} [/texx].

Si no erro en las cuentas que voy hacer creo que estará bien.

[texx] f'(x) = 1 -\dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} [/texx].

[texx] 1 -\dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} = 1 [/texx] queda que [texx] \dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} =0 [/texx].

[texx] e^x > 0 [/texx] para todo [texx] x [/texx] en  [texx] R [/texx].
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