17/09/2019, 04:18:44 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a aladan
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Sobre conjunto de funciones continuas separable. Carothers.  (Leído 435 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
lindtaylor
Pleno*
*****

Karma: +0/-1
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.290



Ver Perfil
« : 29/04/2014, 02:30:28 am »

Una consulta, en el archivo adjunto se dice que [texx]||f-g||_\infty\leq \epsilon[/texx], lo cual logro ver de forma intuitiva, pero no sé escribirlo formalmente. ¿Cómo se puede demostrar eso?
Desde ya gracias.




Desarrolando llego a lo siguiente:
Sea  [texx]f\in C[0,1][/texx] y [texx]\epsilon>0[/texx], [texx]f[/texx] es uniformemente continua en [texx][0,1][/texx], entonces [texx]\forall\epsilon>0\exists \delta_1>0 \forall x,y\in [0,1], |x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon/2[/texx].
Por prop. Arquimediana [texx]\exists N_1\in N, 1/N_1<\delta_1[/texx], luego [texx]\forall n>N_1, 1/n<\delta_1.[/texx]

Sea [texx]D=\left\{g:[0,1]\to R: g\ funcion\ poligonal, g(k/n)=f(k/n), k=0,\ldots, n, \ algun\ n\in N\right\}[/texx]

Observación: Para todo [texx]g\in D[/texx], [texx]g[/texx] es uniformemente continua en tex][0,1][/tex], entonces [texx]\forall \epsilon>0 \exists \delta_2>0\forall x,y\in [0,1], |x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\epsilon/2[/texx].
Nuevamente por Prop. Arquimediana existe [texx]N_2\in N, \forall n>N_2, 1/n<\delta_2[/texx]

Sea [texx]g\in D[/texx] con [texx]g(k/n)=f(k/n), k=0,\ldots, n[/texx], tal que [texx]n>N_1,N_2.[/texx]
Ahora, para [texx]x\in [0,1][/texx]:

Si [texx]x=k/n \Rightarrow |f(x)-g(x)|=|f(k/n)-g(k/n)|=|f(k/n)-f(k/n)|=0<\epsilon[/texx].\\

Si [texx]x\not= k/n[/texx] para todo [texx]k[/texx], entonces [texx]x\in (k/n,(k+1)/n)[/texx] algún [texx]k[/texx].
Ahora [texx]|f(x)-g(x)|\leq |f(x)-g(k/n)|+|g(x)-g(k/n)|,[/texx] y [texx]|f(x)-g(k/n)|=|f(x)-f(k/n)|[/texx] y también [texx]x-k/n<1/n<\delta_1[/texx], luego [texx]|f(x)-g(k/n)|<\epsilon/[/texx]2, además  [texx]|g(x)-g(k/n)|<\epsilon/2[/texx], pues [texx]x-k/n<1/n<\delta_2.[/texx]
Por tanto [texx]\forall x\in [0,1]\ , |f(x)-g(x)|<\epsilon[/texx]. Por tanto [texx]||f-g||_\infty<\epsilon.[/texx]

¿Es correcto?
Desde ya gracias.

* separable.jpg (56.82 KB - descargado 110 veces.)
En línea

....
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!