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Autor Tema: Espacio de funciones continuas convergentes a un real es separable.  (Leído 448 veces)
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lindtaylor
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« : 26/04/2014, 05:53:13 am »

Hola. Quiero demostrar que (con norma [texx]||.||_\infty[/texx]) [texx]c_a[0,\infty)=\left\{f:[0,\infty)\to\mathbb{R}: f\ continua, \lim_{x\to\infty} f(x)=a\right\}[/texx] es separable, para esto me defino [texx]D=\left\{f:[0,\infty)\to\mathbb{R}: \exists K\geq 0, f\in\mathbb{Q}_n
  • \ si\ x\in[0,K],\ y\ f(x)=a\ si\ x\in (K,\infty)\right\}[/tex].

    Entonces la idea es usar Teo. de Weirtrass. Sea [texx]\displaystyle \epsilon>0, f\in c_a[0,\infty)[/texx], entonces [texx]\displaystyle\exists K>0, \forall x> K, f(x)=a[/texx]. Además f es continua en el compacto [0,K], luego por Teo. de Weirstrass, existe [texx]\displaystylep\in R_n
    • [/tex] polinomio de grado n con coeficientes en R, tal que [texx]||f-p||_\infty<\epsilon[/texx].
      Ahora para el polinomio p, quiero aproximarlo por un polinomio [texx]q\in Q_n
      • ,[/tex] y tener que [texx]\sup_{x\in [0,K]} |p(x)-q(x)|<\epsilon[/texx], pero no sé como demostrar (más que demostrar es que no sé escribirlo formalmente) que eso se cumple.
        ¿Cómo lo escribo?
        Desde ya gracias.

        Tengo lo siguiente: Para [texx]p\in R_n[X][/texx], se tiene que [texx]p(x)=\sum_{j=0}^n p_j x^j[/texx], ahora como Q es denso en [texx]\displaystyle R, \forall\epsilon>0\forall p_j\in R, j=1,\ldots, n, \exists q_j\in Q[/texx], con [texx]\displaystyle q_j\not=p_j [/texx] tal que [texx]\displaystyle |p_j-q_j|<\frac{\epsilon}{(n+1)|x_0^j|}[/texx], con [texx]x_0[/texx] el valor que hace que [texx]\displaystyle \sup_{x\in[0,K]}|p(x)-q(x)|=|p(x_0)-q(x_0)|[/texx], con [texx]q\in Q_n[X][/texx].
        Así tenemos que [texx]\displaystyle ||p-q||_\infty<\epsilon[/texx], pues
         [texx]\displaystyle ||p-q||_\infty=\sup_{x\in[0,K]}|p(x)-q(x)|=|p(x_0)-q(x_0)|\\
        =|\sum_{j=0}^n (p_j-q_j)x_0^j|\leq \sum_{j=0}^n |p_j-q_j||x_0^j|<\sum_{j=0}^n\frac{\epsilon}{(n+1)|x_0^j|}|x_0^j|=\epsilon[/texx].
        Por tanto, [texx]q[/texx] con coeficientes en [texx]Q[/texx], aproxima a [texx]p.[/texx]
        Ahora sea [texx]g:[0,\infty)\to R[/texx], dado por [texx]g(x)=q(x)[/texx], si [texx]x\in[0,K][/texx], y [texx]g(x)=a[/texx] si [texx]x\in (K,\infty)[/texx], entonces [texx]g\in D[/texx], y además [texx]||f-g||_\infty<\epsilon[/texx]
        Luego es separable.
        ¿Está bien?


      [/texx]
    [/texx]
[/texx]
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