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Autor Tema: Distribución Uniforme  (Leído 402 veces)
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Julio_fmat
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« : 13/04/2014, 08:23:57 am »

Suponga que una variable aleatoria [texx]X[/texx] se distribuye uniforme en el intervalo [texx]I=(0,a)\cup (a+2,b).[/texx] Sea [texx]F[/texx] la función de distribución acumulada de la variable aleatoria [texx]X.[/texx] Suponga que [texx]F(4)=\dfrac{1}{5}[/texx] y que [texx]F(a+1)=\dfrac{1}{4}.[/texx] Determine [texx]a[/texx] y [texx]b.[/texx]


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"Haz de las Matemáticas tu pasión".
numbsoul
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« Respuesta #1 : 13/04/2014, 09:07:04 am »

La densidad está concentrada en [texx]I[/texx], así que [texx]F(a+1)[/texx] da la longitud del intervalo [texx](0,a)[/texx], es decir, [texx]a[/texx]. Luego [texx]a=\dfrac{1}{4}[/texx].

Tenemos [texx]a+2=\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}[/texx] (Observar que [texx]4>\dfrac{9}{4}[/texx])

Por otro lado [texx]\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{b-2}(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}}dx+\displaystyle\int_{\frac{9}{4}}^{4}dx)=\dfrac{1}{b-2}(\dfrac{1}{4}+(4-\dfrac{9}{4}))[/texx] si [texx]4\leq b[/texx] (esta condición es además necesaria, si no llegamos al absurdo [texx]\dfrac{1}{5}=1[/texx])

Luego [texx]\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{b-2}[/texx] si y solo si [texx]b-2=10[/texx] si y solo si [texx]b=12[/texx]

(El error que cometiste es integrar de más, porque en [texx](\dfrac{1}{4},\dfrac{9}{4})[/texx], la integral da cero)
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 14/04/2014, 01:44:12 am »

Muchas Gracias numbsoul.  Aplauso

Pero mi Profesor obtiene los resultados [texx]a=5[/texx] y [texx]b=22.[/texx] Me pregunto si se habrá equivocado en algo, porque hasta el momento no puedo decir si hay algún error de por medio.

Sigo sin entender ¿cómo habéis calculado [texx]a[/texx]?, ¿porque [texx]F[/texx] es una función creciente?, intento hacer algún desarrollo formal de esto, pero obtengo que

[texx]$0<a<a+1\implies F(a)\le F(a+1)\implies F(a)\le \dfrac{1}{4}$[/texx], y no consigo despejar [texx]a[/texx] en función de algo. :triste:

Me resulta extraño que las integrales se deban de calcular así, porque yo tengo entendido que si [texx]X[/texx] es una variable aleatoria continua con función de densidad [texx]f=f(x)[/texx], entonces la función de distribución acumulada (f.d.a.) se define por

[texx]F(t)=P(X\le t)=\displaystyle \int\limits_{-\infty}^t f(x)dx, \; \forall t.[/texx]

En este sentido, yo haría este cálculo por la definición de f.d.a., es decir:

[texx]F(4)=\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{4}f(x)dx=\displaystyle \int\limits_{-\infty}^0 f(x)dx \,+ \,\displaystyle \int\limits_{0}^{1/4}f(x)dx \,+ \,\displaystyle \int\limits_{9/4}^4 f(x)dx.[/texx]

Sin embargo, en la última integral, y considerando que la función de densidad [texx]f(x)=\dfrac{1}{b-2}[/texx] recorre el intervalo [texx]a+2<x<b[/texx], uno tiende a pensar que [texx]b=4[/texx], porque ese es el límite superior, y hasta ese punto recorre la f.d.a. ¿Está bien o no?

Posiblemente tenga algunos errores, pero son dudas que me surgen al intentar de entender la solución de numbsoul.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 14/04/2014, 04:57:50 am »

Hola

La densidad está concentrada en [texx]I[/texx], así que [texx]F(a+1)[/texx] da la longitud del intervalo [texx](0,a)[/texx], es decir, [texx]a[/texx]. Luego [texx]a=\dfrac{1}{4}[/texx].

No está bien, porque [texx]F(a+1)[/texx] no es la longitud del intervalo [texx](0,a)[/texx], sino tal longitud divida por la medida total de [texx]I.[/texx]

Es decir nuestra variable aleatoria por ser uniforme en [texx]I[/texx] tiene densidad:

[texx]f(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{l(I)} & \mbox{ si }& x\in I\\0 & \mbox{si}& x\not\in I\end{matrix}[/texx]

donde la longitude de [texx]I[/texx] es:

[texx]l(I)=a-0+(b-(a-2))=b-2[/texx]

Entonces:

[texx]F(a+1)=\displaystyle\int_{-\infty}^{a+1}f(x)dx=\dfrac{1}{b-2}\displaystyle\int_{0}^{a}dx=\dfrac{a}{b-2}[/texx]

Por otra parte dado que [texx]F(4)<F(a+1)[/texx] se tiene que [texx]4<a+1[/texx] y dado que en [texx](a,a+1)[/texx] no hay densidad (es nula), en realidad [texx]4\leq a[/texx]. Por tanto:

[texx]F(4)=\displaystyle\int_{-\infty}^{4}f(x)dx=\dfrac{1}{b-2}\displaystyle\int_{0}^{4}dx=\dfrac{4}{b-2}[/texx]

De ahí tenemos dos ecuaciones:

[texx]\dfrac{1}{4}=\dfrac{a}{b-2},\qquad \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{b-2}[/texx]

Resolviendo: [texx]a=5,\quad b=22.[/texx]

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #4 : 14/04/2014, 08:58:43 pm »

Hola

La densidad está concentrada en [texx]I[/texx], así que [texx]F(a+1)[/texx] da la longitud del intervalo [texx](0,a)[/texx], es decir, [texx]a[/texx]. Luego [texx]a=\dfrac{1}{4}[/texx].

No está bien, porque [texx]F(a+1)[/texx] no es la longitud del intervalo [texx](0,a)[/texx], sino tal longitud divida por la medida total de [texx]I.[/texx]

Es decir nuestra variable aleatoria por ser uniforme en [texx]I[/texx] tiene densidad:

[texx]f(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{l(I)} & \mbox{ si }& x\in I\\0 & \mbox{si}& x\not\in I\end{matrix}[/texx]

donde la longitude de [texx]I[/texx] es:

[texx]l(I)=a-0+(b-(a-2))=b-2[/texx]

Entonces:

[texx]F(a+1)=\displaystyle\int_{-\infty}^{a+1}f(x)dx=\dfrac{1}{b-2}\displaystyle\int_{0}^{a}dx=\dfrac{a}{b-2}[/texx]

Por otra parte dado que [texx]F(4)<F(a+1)[/texx] se tiene que [texx]4<a+1[/texx] y dado que en [texx](a,a+1)[/texx] no hay densidad (es nula), en realidad [texx]4\leq a[/texx]. Por tanto:

[texx]F(4)=\displaystyle\int_{-\infty}^{4}f(x)dx=\dfrac{1}{b-2}\displaystyle\int_{0}^{4}dx=\dfrac{4}{b-2}[/texx]

De ahí tenemos dos ecuaciones:

[texx]\dfrac{1}{4}=\dfrac{a}{b-2},\qquad \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{b-2}[/texx]

Resolviendo: [texx]a=5,\quad b=22.[/texx]

Saludos.

Muchas gracias el_manco, como siempre corrigiendonos nuestros errores. :sonrisa:

See, ahora me queda todo claro, era simplemente cuestión de saber integrar nomás, pero mi Profe insistía en que se cumple [texx]F(a)=F(a+1)[/texx], por el tema de los puntos "acumulados", y de ahí se obtiene un dato, aunque ahora que lo veo, ese dato es innecesario.

Saludos. :guiño:
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Julio_fmat
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« Respuesta #5 : 12/08/2019, 09:56:05 pm »


Entonces:

[texx]F(a+1)=\displaystyle\int_{-\infty}^{a+1}f(x)dx=\dfrac{1}{b-2}\displaystyle\int_{0}^{a}dx=\dfrac{a}{b-2}[/texx]


Hola, estaba estudiando y me surgio una duda. Las integrales [texx]\displaystyle\int_0^{a+1}\dfrac{1}{b-2}dx[/texx] y [texx]\displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{b-2}dx[/texx] no son lo mismo? Pero entonces [texx]F(a)=F(a+1)=\dfrac{1}{4}[/texx]??
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