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Autor Tema: Sobre espacio de sucesiones convergentes.  (Leído 455 veces)
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lindtaylor
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« : 08/04/2014, 12:14:00 am »

Holas, quiero demostrar que el espacio [texx]c=\left\{x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}: x\quad es\quad convergente\right\}[/texx] es separable, pero primero me entró una duda. Debo asumir que el espacio [texx]c[/texx] es el espacio de sucesiones convergentes a un número real prefijado, o que [texx]c[/texx] es el espacio de sucesiones convergentes a cualquier número real? Pues para el primer caso, el denso que me doy es [texx]D=\left\{x:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}\cup\left\{a\right\}: a=\lim_{k\to\infty} x_k\right\} [/texx] el cual el numerable y denso en [texx]c_a[/texx]. Pero no sé si [texx]c\not=c_a[/texx] o [texx]c=c_a[/texx].

Cómo debo entender el espacio [texx]c[/texx]? Si c son todas las convergentes hacia cualquier número real, cual puede ser un denso numerable?




También acabo de leer que puedo hacer un isomorfismo entre [texx]c[/texx] y [texx]c_0\times \mathbb{R}[/texx] de la siguiente forma:

[texx]\varphi(x=(x_n))=((x_n-a),a)[/texx] donde [texx]a=\lim_{n\to\infty} x_n[/texx].
Como [texx]c_0[/texx] es separable y [texx]\mathbb{R}[/texx] también el producto es separable, y además los isomorfismos preservan separabilidad. Esto no sé como demostrarlo, es decir, si [texx]\varphi:X\to Y[/texx] isomorfismo y [texx]X[/texx] separable, entonces Y es separable, por lo visto, si [texx]X[/texx] separable entonces sea [texx]D_x[/texx] denso numerable en [texx]X[/texx], el candidato natural debiera ser [texx]\varphi(D_X) [/texx]denso numerable en Y, pero no sé como demostrar que es denso.
Cómo es?
Desde ya gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 08/04/2014, 07:26:21 am »

Hola

Holas, quiero demostrar que el espacio [texx]c=\left\{x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}: x\quad es\quad convergente\right\}[/texx] es separable, pero primero me entró una duda. Debo asumir que el espacio [texx]c[/texx] es el espacio de sucesiones convergentes a un número real prefijado, o que [texx]c[/texx] es el espacio de sucesiones convergentes a cualquier número real? Pues para el primer caso, el denso que me doy es [texx]D=\left\{x:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}\cup\left\{a\right\}: a=\lim_{k\to\infty} x_k\right\} [/texx] el cual el numerable y denso en [texx]c_a[/texx]. Pero no sé si [texx]c\not=c_a[/texx] o [texx]c=c_a[/texx].

El conjunto que [texx]D[/texx] que indicas no es numerable.

Cita
Cómo debo entender el espacio [texx]c[/texx]? Si c son todas las convergentes hacia cualquier número real, cual puede ser un denso numerable?


Es a cualquier número real. Como conjunto denso numerable puedes tomar las sucesiones con coeficientes racionales y constantes salvo un número finito de términos.

Cita
También acabo de leer que puedo hacer un isomorfismo entre [texx]c[/texx] y [texx]c_0\times \mathbb{R}[/texx] de la siguiente forma:

[texx]\varphi(x=(x_n))=((x_n-a),a)[/texx] donde [texx]a=\lim_{n\to\infty} x_n[/texx].
Como [texx]c_0[/texx] es separable y [texx]\mathbb{R}[/texx] también el producto es separable, y además los isomorfismos preservan separabilidad. Esto no sé como demostrarlo, es decir, si [texx]\varphi:X\to Y[/texx] isomorfismo y [texx]X[/texx] separable, entonces Y es separable, por lo visto, si [texx]X[/texx] separable entonces sea [texx]D_x[/texx] denso numerable en [texx]X[/texx], el candidato natural debiera ser [texx]\varphi(D_X) [/texx]denso numerable en Y, pero no sé como demostrar que es denso.

Ten en cuenta (o prueba) que un isomorfismo es un homeomorfismo (es decir conserva abiertos y cerrados) por conservar la métrica.

Saludos.
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