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Autor Tema: Sobre complexificación de un espacio de Hilbert.  (Leído 458 veces)
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lindtaylor
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« : 30/03/2014, 11:46:45 pm »

Sea [texx]H[/texx] un espacio de Hilbert  sobre [texx]\mathbb{R}.[/texx]
Demustre que hay un espacio de Hilbert [texx]K[/texx] sobre [texx]\mathbb{C} [/texx] (la complexificación de H) y una aplicación [texx]U:H\to K[/texx] tal que:

[texx]U[/texx] es lineal.
[texx]<Uh_1,Uh_2>_K=<h_1,h_2>_H[/texx] para todos [texx]h_1,h_2\in H.[/texx]
Para cualquier [texx] k\in K[/texx], existen y son unicos [texx]h_1,h_2[/texx] en [texx]H[/texx] tal que [texx]k=Uh_1+iUh_2.[/texx]

Que U debería tomar?
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....
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 31/03/2014, 07:25:46 am »

Hola

 Ten en cuenta que [texx]K=H\times H\approx H+iH[/texx] con la operacion producto:

[texx] (a+bi)(\vec x+i\vec y)=(a\vec x-b\vec y)+i(a\vec y+b\vec x)[/texx]

 Y el producto escalar debes de definirlo como:

[texx] <\vec x+i\vec y,\vec x'+i\vec y'>_K=<\vec x,\vec x'>_H+<\vec y,\vec y'>_H+i(<\vec y,\vec x'>_H-<\vec x,\vec y'>_H[/texx]

 Entonces basta tomar [texx]U(\vec h)=\vec h+i\vec 0[/texx]

Saludos.
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