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Autor Tema: Sobre complemento ortogonal de un espacio vectorial con producto interno.  (Leído 452 veces)
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lindtaylor
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« : 30/03/2014, 12:31:22 am »

Sea [texx]C ([-1,1])[/texx] con producto escalar [texx]<f,g>=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\overline{g(t)}dt.[/texx]
Cuál es el complemento ortogonal de [texx]M=\left\{f\in C([-1,1]): f(t)=0, \forall t<0\right\}?[/texx]

Veo que si [texx]g\in M^\perp[/texx], luego [texx]<g,f>=0[/texx] para todo [texx]f[/texx] en [texx]M[/texx], luego [texx]\int_{-1}^{1} g(t)\overline{f(t)}dt=0[/texx], luego [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}g(t)\overline{f(t)}dt=0[/texx], y acá como es para todo f, tomo [texx]f(x)=0[/texx] si [texx]x\in [-1,0) y f(x)=g(x)[/texx] si [texx]x\in [0,1][/texx], luego [texx] \displaystyle\int_{0}^{1} g(x)^2dx=0[/texx], como g es continua entonces [texx]g(x)=0[/texx] para todo [texx]x.[/texx] Por tanto [texx]M^\perp=\left\{g=0\right\}[/texx].

Está bien? Ya que me preocupa abusar de ese "para todo" para luego elegir un f de tal forma de restringuir mi funcion g.
Desde ya gracias.
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....
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 31/03/2014, 08:25:24 am »

Hola

 Tienes dos errores:

Veo que si [texx]g\in M^\perp[/texx], luego [texx]<g,f>=0[/texx] para todo [texx]f[/texx] en [texx]M[/texx], luego [texx]\int_{-1}^{1} g(t)\overline{f(t)}dt=0[/texx], luego [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}g(t)\overline{f(t)}dt=0[/texx], y acá como es para todo f, tomo [texx]f(x)=0[/texx] si [texx]x\in [-1,0) y f(x)=g(x)[/texx] si [texx]x\in [0,1][/texx]

Esa función que has construida no es necesariamente continua.

Cita
, luego [texx] \displaystyle\int_{0}^{1} g(x)^2dx=0[/texx], como g es continua entonces [texx]g(x)=0[/texx] para todo [texx]x.[/texx] Por tanto [texx]M^\perp=\left\{g=0\right\}[/texx].

Ahí deducirías que [texx]g(x)=0[/texx] para [texx]x\in [0,1][/texx]

Entonces lo que en realidad se cumple es que:

[texx]M^\not=\{g\in C([-1,1]): g(t)=0,\forall t\geq 0\}[/texx]

Para probarlo ten en cuenta que:

1) Si [texx]g(t)=0[/texx] para [texx]t\in [0,1][/texx] es claro que [texx]<f,g>=0[/texx] para cualquier [texx]f\in M[/texx].

2) Si [texx]g(t_0)\neq 0[/texx] para [texx]t_0\in (0,1][/texx] por continuidad existe un entorno [texx]U=(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)\cap (0,1][/texx] tal que |[texx]g(t_0)|>|g(t_0)/2|>0[/texx]

Define una función continua positiva real [texx]h(x)[/texx] tal que [texx]h(t_0)=1[/texx] en  [texx]U[/texx] y [texx]h(t)=0[/texx] en [texx][-1,0][/texx]. Entonces [texx]f(x)=g(x)h(x)\in M[/texx] y:

[texx]<f,g>=\displaystyle\int_{-1}^{1}h(x)|g(t)|^2\geq \displaystyle\int_{U}|g(t)|^2 >0[/texx]

t por tanto [texx]g\not\in M^\bot[/texx].

Saludos.
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