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Autor Tema: Función de verdad que genera todas las funciones de verdad  (Leído 1776 veces)
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alemunozgar
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« : 28/03/2014, 11:50:53 am »

Saludos a todos.

Alguien tiene una idea o lineamiento para afrontar este ejercicio (también sale del libro de Eliot Mendeson, ejercicio 1.41 de la cuarta edición):

Muestre que la función de verdad [texx]h[/texx] determinada por [texx](A\vee B)\Rightarrow{}\lnot C[/texx] genera todas las funciones de verdad.

¿Alguna idea?
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luis
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« Respuesta #1 : 28/03/2014, 14:43:35 pm »

la verdad es que no entiendo el enunciado. ¿qué quiere decir que una función de verdad genera una función de verdad?

saludos

luis
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alemunozgar
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« Respuesta #2 : 28/03/2014, 18:30:36 pm »

Buena tarde Luis.
Primero que todo gracias por el interés.

En la teoría previa que desarrolla el libro, demuestra que toda función de verdad (la cual es intuitivamente la tabla de verdad de alguna forma proposicional) se puede obtener con los conectivos [texx]\wedge[/texx] y [texx]\lnot[/texx] ó [texx]\vee[/texx] y [texx]\lnot[/texx] ó [texx]\Rightarrow{}[/texx] y [texx]\lnot[/texx].
Con este reultado basta ver que la función [texx]h[/texx] que genera ciertos valores de verdad al ingresar letras proposicionales genera la función de verdad de alguna pareja de los conectivos que mencioné antes.
Por ejemplo, he logrado la más simple:

[texx]h(A,A,A)=(A \vee A)\Rightarrow{}\lnot A[/texx]     cuya función de verdad coincide con la función de verdad de [texx]\lnot[/texx].
Resta encontrarle la pareja a esta, pero no logro dar con esta.

Saludos Luis, ojalá me puedas colaborar.
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alemunozgar
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« Respuesta #3 : 28/03/2014, 18:39:55 pm »

Mientras escribía, se me ocurrió este:

[texx]h(A,B,\lnot B)= (A \vee B)\Rightarrow{} \lnot \lnot B[/texx] cuya función de verdad coincide con la de [texx]\Rightarrow{}[/texx].
No sé qué tan correcto sea colocar esa negación dentro de la función...

Saludos.
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soneu
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« Respuesta #4 : 28/03/2014, 20:24:50 pm »

Como le pasó a luis no entiendo lo que pides. De hecho tu argumento

[texx]h(A,A,A)=(A \vee A)\Rightarrow{}\lnot A[/texx]

demuetra un contradicción (es imposible de A o A demostrar no A).

Un saludo
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Cristian C
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« Respuesta #5 : 28/03/2014, 22:30:13 pm »

Hola, Alemunozgar.

Ya lo tienes resuelto. Solo observa que

[texx]h(A,B,\lnot B)= (A \vee B)\Rightarrow{} \lnot \lnot B[/texx]

se puede anotar

[texx]h(A,B,h(B,B,B))= (A \vee B)\Rightarrow{} \lnot \lnot B[/texx]

escribiendo el negador como tú mismo has indicado más arriba.

Saludos.
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Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.
alemunozgar
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« Respuesta #6 : 28/03/2014, 22:37:16 pm »

Vaya, no se me habría ocurrido así en un buen rato.
Excelente observación.
¡Mil gracias por tu colaboración!

Saludos.
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« Respuesta #7 : 28/03/2014, 23:57:41 pm »

aún no entendí del todo, aunque creo que voy entendiendo...

concretamente, para entender...

consideremos la función [texx]g[/texx] de dos variables tal que:

[texx]\begin{array}{l}
g (F, F) = F \\
g (F, V) = F \\
g (V, F) = F \\
g (V, V) = V
\end{array}
[/texx]

la tarea sería encontrar expresiones tales que si coloco las mismas en lugar de A, B y C, la tabla correspondiente a [texx]h(A,B,C)[/texx] coincide con la función [texx]g[/texx].

pero si esa es la lectura, tengo un problema no menor con la cantidad de argumentos de las funciones.

me sigue pareciendo oscuro el enunciado, y si bien puedo entender algo de él, hay gran parte que se me escapa.

saludos

luis
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« Respuesta #8 : 29/03/2014, 00:19:45 am »

No necesariamente Luis, pues mira que si yo quisiera generar la función de verdad (o sea una asignación de verdad) que genere Falso no podría hacerlo pues todas las combinaciones que escribes son verdaderas bajo [texx]g[/texx].
La idea de generar todas las funciones de verdad es poder escribir una fórmula bien formada solo con el conectivo que define la función [texx]h[/texx] y obtener una tabla de verdad (más que eso una columna principal de la fórmula bien formada) como uno la desee.
Por ejemplo, si quiero que [texx]h[/texx] genere para dos letras proposicionales: F(falso) únicamente cuando [texx]A[/texx] es [texx]F[/texx] y [texx]B[/texx] es [texx]T[/texx], y genere T(verdadero) en el resto de los casos; podría hacerlo aplicando:

[texx]h(A,B,A)=(A \vee B)\Rightarrow{} \lnot A[/texx] Si chequeas la tabla de verdad de esa expresión que resulta puedes ver que efectivamente era la que pedía.

Espero haberte aclarado un poquitín el panorama de lo que enunciaba arriba.

Saludos Luis.
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