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Autor Tema: Sobre secuencia de puntos en un espacio de Hilbert.  (Leído 458 veces)
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lindtaylor
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« : 27/03/2014, 06:27:53 pm »

Holas. Me gustaría resolver este problema que encontré, creo que hay un paso que no se me ocurre.

Sea [texx]H[/texx] un espacio de Hilbert, sea [texx]\left\{h_n:n\in\mathbb{N}\right\}[/texx] secuencia de puntos en [texx]H[/texx], si [texx]\sum_{n\in\mathbb{N}} ||h_n||<\infty[/texx], entonces [texx]\sum_{n=1}^\infty h_n[/texx] converge en [texx]H[/texx].

Se ve que al parecer hay que definir una secuencia tal que sea Cauchy, luego se debe usar  la completitud de H, pero me complica las desigualdades a usar. Tengo esto:

Sea [texx]h_n=x_{n+1}-x_n[/texx], tal que para todo [texx]n[/texx], [texx]x_n\in H[/texx], entonces [texx]\sum_{n\in\mathbb{N}} ||x_{n+1}-x_n||<\infty[/texx], luego [texx](x_n)[/texx] es de Cauchy, y [texx]H[/texx] es completo, por tanto tex]x_n[/tex] converge a  [texx]x[/texx] con [texx]x[/texx] en [texx]H[/texx].

Ahora, [texx]\sum_{n=1}^{m} h_n=\sum_{n=1}^m(x_{n+1}-x_n)=x_{m+1}-x_1[/texx], entonces [texx]\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m} h_n=\sum_{n=1}^{\infty}= x-x_1[/texx], y [texx]H[/texx] es un espacio vectorial, luego [texx]x-x_1\in H[/texx]. Por tanto [texx]\sum_{n=1}^{\infty}[/texx] [texx]h_n[/texx] converge en [texx]H[/texx].

Es correcto?
Desde ya gracias.
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....
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 28/03/2014, 06:24:46 am »

Hola

 Es un poco confuso como lo haces. Lo natura es tomar las sumas parciales (es en el fondo lo que tomas, pero de manera indirecta), ya que la convergencia de una serie es por definción la de su sucesión de sumas parciales. Si llamas:

[texx] x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}h_k[/texx]

[texx] y_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\|h_k\|[/texx]

 La sucesión [texx]\{y_n\}[/texx] es convergente y de Cauchy.

 Entonces para [texx]n>m[/texx]:

[texx]\|x_n-x_m\|=\left\|\displaystyle\sum_{k=m+1}^n{}h_k\right\|\leq \displaystyle\sum_{k=m+1}^n{}\|h_k\|=y_n-y_m[/texx]

Saludos.
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