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Autor Tema: Espacio de secuencias acotadas no es separable.  (Leído 448 veces)
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lindtaylor
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« : 27/03/2014, 02:35:12 am »

Holas. En el espacio [texx]l^\infty=\left\{x=(x_n): (x_n)\ acotada\right\}[/texx], para ver que no es separable se define el conjunto [texx]A=\left\{(x_n): x_n=0\vee 1\right\}\subset l^\infty[/texx], el cual [texx]card(A)=card((0,1)), [/texx] luego [texx]A[/texx] es no numerable. Además los puntos en este conjunto están a distancia 0 o 1, consecuencia de esto es que bolas abiertas definidas en [texx]A[/texx] con radio menor que 1 quedan [texx]B(x,1/2)=\left\{x\right\}[/texx].
Ahora si [texx]l^\infty[/texx] fuera separable, entonces existe un denso numerable [texx]B[/texx], luego veo que en un punto [texx]x\in A[/texx], para todo [texx]r>0[/texx] existe un punto[texx] b\in B[/texx], [texx]b\not=a[/texx] tal que [texx]b\in B(x,r)[/texx], y de acá se dice que habría una inyección entre el conjunto [texx]A[/texx] con el conjunto [texx]B[/texx] (Por qué?) lo cual sería una contradicción. (Esto último lo veo pues B es numerable, pero A es no numerable, pero no veo cual sería la inyección...)
Desde ya gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 27/03/2014, 07:12:58 am »

Hola

Holas. En el espacio [texx]l^\infty=\left\{x=(x_n): (x_n)\ acotada\right\}[/texx], para ver que no es separable se define el conjunto [texx]A=\left\{(x_n): x_n=0\vee 1\right\}\subset l^\infty[/texx], el cual [texx]card(A)=card((0,1)), [/texx] luego [texx]A[/texx] es no numerable. Además los puntos en este conjunto están a distancia 0 o 1, consecuencia de esto es que bolas abiertas definidas en [texx]A[/texx] con radio menor que 1 quedan [texx]B(x,1/2)=\left\{x\right\}[/texx].

En concreto puntos distintos de ese conjunto están a distancia [texx]1[/texx].

Cita
Ahora si [texx]l^\infty[/texx] fuera separable, entonces existe un denso numerable [texx]B[/texx], luego veo que en un punto [texx]x\in A[/texx], para todo [texx]r>0[/texx] existe un punto[texx] b\in B[/texx], [texx]b\not=a[/texx] tal que [texx]b\in B(x,r)[/texx], y de acá se dice que habría una inyección entre el conjunto [texx]A[/texx] con el conjunto [texx]B[/texx] (Por qué?) lo cual sería una contradicción. (Esto último lo veo pues B es numerable, pero A es no numerable, pero no veo cual sería la inyección...)
Desde ya gracias.

Tienes:

[texx]f:A\longrightarrow{}B,\quad f(a)=b[/texx] tal que [texx]b\in B(a,1/2).[/texx]

Ahora si [texx]a\neq a'[/texx] entonces:

[texx]d(a,a')\leq d(a,f(a))+d(f(a),a')[/texx]

es decir:

[texx]d(f(a),a')\geq d(a,a')-d(a,f(a))>1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}[/texx]

Por tanto [texx]f(a)\not\in B(a',1/2)[/texx] y así [texx]f(a')\neq f(a).[/texx]

Saludos.
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