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Autor Tema: Sobre distancia de un elemento a un conjunto igual a cero.  (Leído 429 veces)
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lindtaylor
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« : 16/03/2014, 12:53:57 am »

Hola, me topé con el siguiente enunciado.
Sea [texx]F=M\setminus B(a,r)[/texx], el complemento de una bola abierta en el espacio métrico [texx]M[/texx]. Si [texx]d(x,F)=0[/texx] entonces [texx]x\in F.[/texx]
La demostración que se me ocurre es la siguiente:
Supongamos que [texx]x\not\in F[/texx], ahora si [texx]d(x,F)=0[/texx], sea [texx]d(x,f_0)=d(x,F)=0[/texx], luego [texx]x=f_0[/texx], luego [texx]x\in F[/texx] un absurdo.

Ahora si tengo [texx]M=\mathbb{R}[/texx], y [texx]B(0,1)=]-1,1[[/texx], me cuesta creer que con la distancia usual dada por el valor absoluto, se cumple el enunciado, pues si tengo un [texx]x\in ]-1,1[[/texx] muy cercano a 1, entonces creo ver que [texx]d(x, F)=0[/texx] aún cuando [texx]x\not\in F[/texx]. Qué veo mal? La demostración está bien?
Desde ya gracias.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 16/03/2014, 01:08:03 am »

No ves nada mal sí tenemos que [texx] A = ]0,1[ [/texx] y [texx] x=1[/texx] entonces [texx] d(A,x)=d(A,\{1\}) = 0[/texx].
Y tú ves que [texx] 1 \notin A [/texx].
En conjuntos tienes la inclusión o no inclusión de un elemento.
Sí tenemos [texx] C = ]5,6[ [/texx] tenemos que [texx] 6 ,444 , 267 \notin C [/texx].
Pero con la toplogía usual el [texx] 6 [/texx] se dieferencia de los demás sí no sólo hablamos de pertenencia sinó tambíen de cercanía.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 16/03/2014, 06:18:41 am »

Hola

Sea [texx]F=M\setminus B(a,r)[/texx], el complemento de una bola abierta en el espacio métrico [texx]M[/texx]. Si [texx]d(x,F)=0[/texx] entonces [texx]x\in F.[/texx]
La demostración que se me ocurre es la siguiente:
Supongamos que [texx]x\not\in F[/texx], ahora si [texx]d(x,F)=0[/texx], sea [texx]d(x,f_0)=d(x,F)=0[/texx], luego [texx]x=f_0[/texx], luego [texx]x\in F[/texx] un absurdo.

La demostración no está bien. Que [texx]d(x,F)=0[/texx] no signfica que exista un [texx]f_0\in F[/texx] tal que [texx]d(x,f_0)=0[/texx]. Significa que:

[texx]inf\{d(x,f)|x\in F\}=0[/texx]

De ahí es fácil ver que existe una sucesión de puntos [texx]\{f_n\}\in F[/texx] tal que[texx] \{f_n\}\to x[/texx]. Como [texx]F[/texx] es cerrado por ser el complementario de un abierto (en otro caso el resultado no sería cierto) el límite [texx]x\in F[/texx].

Saludos.
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