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Autor Tema: Demostración de conjunto cerrado  (Leído 431 veces)
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diegovaja
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« : 24/02/2014, 08:54:01 pm »

Hola a todas y todos, agradezco mucho si alguien pudiera ayudarme con esta demostración:

Sea [texx]X[/texx] un espacio métrico euclídeo. Sea [texx]E\subset{X}[/texx]. Si [texx]E'[/texx] es el conjunto de todos los puntos límites de [texx]E[/texx]. Demostrar que [texx]E'[/texx] es cerrado.
Se dice que un punto [texx]x\in{E}[/texx] es un punto interior de [texx]E[/texx] si toda vecindad de [texx]x[/texx] contiene un punto de [texx]E[/texx] distinto de [texx]x[/texx], o en otras palabras, si [texx]N[/texx] es una vecindad cualquiera de [texx]x[/texx] se cumple que [texx]N\cap{E}\neq{\emptyset}[/texx] para todo punto de [texx]N[/texx] distinto de [texx]x[/texx].

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Tanius
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« Respuesta #1 : 24/02/2014, 10:58:17 pm »

Un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos límite.

O sea que [texx]E'[/texx] será cerrado si y sólo si [texx](E')'\subseteq E'[/texx].

Sea [texx]x\in (E')'[/texx]. Sea [texx]V[/texx] una vecindad que tiene a [texx]x[/texx]. Por hipótesis, se tiene que [texx](V\setminus\{x\})\cap E'\neq \emptyset[/texx]. Si [texx]z\in (V\setminus\{x\}\cap E')[/texx], en particular [texx]z\in E'[/texx] y como [texx]V\setminus\{x\}[/texx] es vecindad de [texx]z[/texx] (¿por qué?), entonces [texx][(V\setminus\{x\})\setminus\{z\}\cap E\neq\emptyset[/texx].
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diegovaja
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« Respuesta #2 : 24/02/2014, 11:37:22 pm »

Muchas gracias por tu respuesta
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