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Autor Tema: Desigualdad de Bernoulli  (Leído 446 veces)
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yotas
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« : 13/02/2014, 01:47:59 pm »

¡Buenas, buenas!

¿Cómo pruebo

[texx](1+x)^\alpha\leq1+\alpha x[/texx] si [texx]0< \alpha <1[/texx]


sin usar fórmula de Taylor?

¡Gracias! :sonrisa:


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Cita
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.
Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 13/02/2014, 04:17:29 pm »

Define [texx] g(x)  = 1+\alpha \cdot x - (1+x)^{\alpha} [/texx].
Tenemos que  [texx] g'(x) = \alpha - \alpha \cdot (1+x)^{\alpha - 1} = \alpha \cdot (1 - \frac{1}{(1+x)^{1-\alpha}} )[/texx].

Sí [texx] x \in ]-1,0[ [/texx] tenemos que:
              [texx] (1+x) <1 \longrightarrow \frac{1}{1+x} >1 [/texx] que nos queda [texx] \frac{1}{(1+x)^{1-\alpha}} >1 [/texx].
              En consecuencia [texx]    \alpha \cdot (1 - \frac{1}{(1+x)^{1-\alpha}}) < 0 [/texx] decreciente.
Sí [texx] x \in ]0,+\infty [ [/texx] tenemos que:
             [texx] (1+x) >1 \longrightarrow  \frac{1}{1+x} <1 [/texx] que nos queda [texx] \frac{1}{(1+x)^{1-\alpha}} <1 [/texx].
              En consecuencia [texx]    \alpha \cdot (1 - \frac{1}{(1+x)^{1-\alpha}}) > 0 [/texx] creciente.
Como tenemos que [texx] g(0) = 0 [/texx] tenemos la desigualdad.


Suponiendo [texx] \red x> -1 [/texx]
           
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