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Autor Tema: Medida  (Leído 455 veces)
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wallydiam
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« : 05/02/2014, 01:20:19 am »

Hola, ¿me podrían ayudar a demostrar lo siguiente?

a) Si m es una medida en X y A un conjunto medible fijo, entonces la función f, definida en todo [texx]E\in{X}[/texx] por [texx]f(E)=m(A\cap{E})[/texx], es una medida.

b) Si [texx]m_1[/texx],...,[texx]m_n[/texx] son medidas y  [texx]a_1[/texx],...,[texx]a_n[/texx] son no negativos, entonces la función f, definida por [texx]f(E)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_j m_j (E)}[/texx] es una medida.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 05/02/2014, 07:27:54 am »

Hola

 ¿Qué has intentado?. Simplemente tienes que verificar en cada caso que la función [texx]f[/texx] que se construye cumple la definición de medida:

 i) [texx]f(\emptyset)=0[/texx].

ii) Si [texx]\{E_n\}_{n\in N}[/texx] es una familia de conjuntos disjuntos dos a dos, entonces:

[texx] f\left(\displaystyle\bigcup_{n\in N}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}f(E_n)[/texx]

 Todas ellas se prueban de manera directa usando que [texx]m[/texx] y [texx]m_i[/texx] son medidas (y por tanto cumplen tales propiedades).

 Inténtalo y si no te sale vuelve a preguntar concretando tus dudas.

Saludos.
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