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Noticias: Homenaje a aladan
 
 
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Autor Tema: diferenciabilidad  (Leído 518 veces)
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aangelo
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« : 09/01/2014, 12:06:30 am »

Buenas noches comunidad de rincón matemático.
De manera muy comedida, les pido el inmenso favor de que me brinden una idea para resolver los siguientes puntos, los cuales han sido esquivos a mi imaginación.
Sea [texx]f[/texx] una función de valor real en el conjunto abierto [texx]U[/texx] de [texx]\mathbb{R}[/texx] diferenciable en el punto [texx]x_0\in{U}[/texx].
a) pruebe que [texx]f^{\prime}(x_0)[/texx] = [texx]\displaystyle\lim_{h \to{}\ 0}\displaystyle\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}{}[/texx]

b) Si [texx]\alpha, \beta\in{\mathbb{R}}[/texx], calcule [texx]\displaystyle\lim_{h \to{}\ 0}\displaystyle\frac{f(x_0 + \alpha*h)- f(x_0 + \beta*h)}{h}{}[/texx].

Que Dios los bendiga y les agradezco inmensamente sus aportes significativos.  A toda la comunidad de rincón matemático le deseo un feliz año, cargado de muchos éxitos y prosperidad.
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hector
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« Respuesta #1 : 09/01/2014, 12:26:39 am »

Hola, aangelo el primer limite que planteas debería [texx]h\rightarrow{0}[/texx], ya que [texx]x\rightarrow{x_0}[/texx] no le veo sentido.

Revisa..
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #2 : 09/01/2014, 12:49:19 am »

Hola, consideremos [texx]h\to 0[/texx] en el primer límite.

Escribamos lo que sabemos y lo que queremos probar.

Como [texx]f[/texx] es diferenciable en [texx]x_0[/texx] el siguiente límite existe:  [texx]f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x)}{h}[/texx], esto es,

    [texx](\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)|h|<\delta\Rightarrow \left|\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right|<\epsilon[/texx].

Queremos probar que [texx]f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}[/texx], es decir, queremos probar que

    [texx](\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)|h|<\delta\Rightarrow \left|\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-f'(x_0)\right|<\epsilon[/texx].

Debemos relacionar lo que conocemos con lo que queremos probar. Para esto nota lo siguiente:

    [texx]\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\dfrac{1}{2}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\dfrac{1}{2}\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}[/texx]

Desde acá no debiera ser difícil continuar.

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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #3 : 09/01/2014, 05:42:21 am »

También puede ser útil:

http://www.fernandorevilla.es/docencia-problemas/paginas-101-110/104-derivada-simetrica
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