19/09/2019, 08:07:49 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Frontera  (Leído 699 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
aangelo
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 71


Ver Perfil
« : 16/12/2013, 02:42:31 am »


Corregido

Buenas noches comunidad de Rincón matemático.
estoy resolviendo el siguiente ejercicio, el cual tuve inconvenientes en una parte de este que les mostraré a continuación.
Sea E un espacio métrico, S un subconjunto de E y sea [texx]f: E\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] la función que toma el valor de 1 en cada punto de S y 0 en cada punto de [texx]s^{c}[/texx].Pruebe que el conjunto de puntos de E en el cual [texx]f[/texx] no es continua es precisamente la frontera de S.

La demostración la intenté hacer de esta manera.
Sea [texx]S\subset{E}[/texx] y sea [texx]f: E\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] la función

[texx]f(x)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x\in{S}\\0 & \mbox{si}& x\not\in{S}\end{matrix}[/texx]

Veamos que [texx]f[/texx] no es continua en  en la frontera de S.
Supongamos por contradicción que el conjunto de puntos de E en el que [texx]f[/texx] es continua es precisamente la frontera de S.
por definición de continuidad (en este caso, en todo punto [texx]x_0[/texx] de la frontera de S tenemos que:
Dado [texx]\epsilon= \displaystyle\frac{1}{2}[/texx] existe [texx]\delta >0[/texx] tal que si [texx]x\in E[/texx] y [texx]d(x,x_0)<\red\delta[/texx] entonces [texx]d(f(x),f(x_0)){<\displaystyle\frac{1}{2}[/texx].
En realidad no se como proceder con la contradicción.¿A quien debo considerar como x para llegar a una contradicción en la definición de continuidad? o ¿existe una forma distinta de apreciar esta demostración ya que por este lado sería fatal resolverla?
Agradezco de antemano sus magníficos aportes. Que dios los bendiga.

En línea
elcristo
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.192


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 16/12/2013, 05:18:35 am »

Dado [texx]\epsilon= \displaystyle\frac{1}{2}[/texx] existe [texx]\delta {<\delta}[/texx] tal que si [texx]x\in{E}[/texx] y [texx]d(x,x_0){<0}[/texx] entonces [texx]d(f(x),f(x_0)){<\displaystyle\frac{1}{2}[/texx].

Bualaa, yo digo burradas así que no soy quien para decir nada, pero [texx]d(f(x),f(x_0))[/texx] jamás puede ser menor que 0 por la definición de distancia.
Otra cosa, no existe [texx]\delta<\delta[/texx], un número nunca es menor que él mismo. Intenta escribir otra vez la definición de continuidad a ver si lo logras ver. Si no la encuentras bien en tus apuntes o algo vuelve a preguntar :sonrisa:
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.757


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 16/12/2013, 06:47:15 am »

Hola

 Supón [texx]f[/texx] es continua en [texx]x_0[/texx] y [texx]f(x_0)=0[/texx]. Entonces dado [texx]\epsilon=1/2[/texx] existe un [texx]\delta>0[/texx] tal que:

 si [texx]d(x,x_0)<\delta[/texx] entonces [texx]|f(x)-f(x_0)|<\dfrac{1}{2}[/texx]

 Equivalente:

 si [texx]d(x,x_0)<\delta[/texx] entonces [texx]|f(x))|<\dfrac{1}{2}[/texx]

 Dado que [texx]f(x)[/texx] sólo pude valer [texx]0[/texx] ó [texx]1[/texx] lo anterior equivale a:

 si [texx]d(x,x_0)<\delta[/texx] entonces [texx]f(x)=0[/texx]

 y por como está definida [texx]f[/texx]:

 si [texx]d(x,x_0)<\delta[/texx] entonces [texx]x\not \in S[/texx]

 Conclusión:

 Si [texx]f[/texx] es continua en [texx]x_0[/texx] y [texx]f(x_0)=0[/texx] entonces existe un [texx]\delta[/texx] tal que [texx]B(x_0,\delta)\subset S^c[/texx].

 Análogamente prueba que si [texx]f[/texx] es continua en [texx]x_0[/texx] y [texx]f(x_0)=1[/texx] entonces existe un [texx]\delta[/texx] tal que [texx]B(x_0,\delta)\subset S[/texx].

 Deduce que:

 [texx]f[/texx] es continua en [texx]x\quad \Leftrightarrow{}\quad x\in int(S)\cup int(S^c)[/texx]

 Termina...

Saludos.
En línea
aangelo
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 71


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 16/12/2013, 04:52:46 pm »

Buenas tardes comunidad de rincón matemático.

Hago un llamado a la prudencia y a la crítica constructiva cuando se tienen errores escriturales. En este sentido, reconozco que  que me equivoqué al escribir la definición de continuidad, y que no lo noté en ese preciso momento. Pero antes de leer los mensajes que habían publicado,  me di cuenta de los  errores que había cometido, y le hice sus respectivas correcciones.
En línea
elcristo
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.192


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 17/12/2013, 03:43:34 pm »

Buenas tardes comunidad de rincón matemático.

Hago un llamado a la prudencia y a la crítica constructiva cuando se tienen errores escriturales. En este sentido, reconozco que  que me equivoqué al escribir la definición de continuidad, y que no lo noté en ese preciso momento. Pero antes de leer los mensajes que habían publicado,  me di cuenta de los  errores que había cometido, y le hice sus respectivas correcciones.

Si te sentiste ofendido por mi mensaje mi más sinceras disculpas, no fue mi intención.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!