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Autor Tema: Continuidad  (Leído 991 veces)
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aangelo
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« : 13/12/2013, 07:26:04 am »

Buenos días comunidad de rincon matematico.
Quiero pedirles el inmenso favor de que me brinden una idea para resolver el siguiente ejercicio de análisis matemático.
Sean U, V  intervalos abiertos o cerrados en [texx]\mathbb{R}[/texx], y sea [texx]f: U\longrightarrow{V}[/texx] una función que es estrictamente creciente (esto es, si [texx]x,y\in{U}\ y\  x\leq{y}\ entonces\ f(x) \leq{f(y)}[/texx]) y sobreyectiva. Pruebe que [texx]f[/texx] y [texx]f^{-1}[/texx]. Pruebe que [texx]f[/texx] y [texx]f^{-1}[/texx] son continuas.
para probar que [texx]f[/texx] es una función continua en todo [texx]x_0\in{U}[/texx]debo hacer lo siguiente:
sea [texx]\epsilon{> 0}[/texx].
Debemos probar que existe [texx]\delta{>0}[/texx] tal que si [texx]x,y\in{U}[/texx] y [texx]d(x,y){<\delta}[/texx] entonces [texx]d(f(x),f(x_0)){<\epsilon}[/texx].
¿Existe una forma forma mas "facil" de resolver el ejercicio o debe hacerse necesariamente por aquí.
De antemano les agradezco sus valiosos aportes. Que Dios los bendiga.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/12/2013, 07:49:59 am »

Hola

 Que sea estrictamente creciente significa que:

[texx] x\color{red}<\color{black}y\quad \Rightarrow{}\quad f(x)\color{red}<\color{black}f(y)[/texx]

 La clave entonces está en que, usando esto es fácil ver que:

[texx] f((a,b))=(f(a),f(b))[/texx]

 y

[texx] f^{-1}(a,b)=(f^{-1}(a),f^{-1}(b))[/texx]

Saludos.
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aangelo
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« Respuesta #2 : 14/12/2013, 12:42:53 am »

Buenas noches comunidad de rincón matemático.
Aquí tengao una parte de la demostración.
Probemos que [texx]f[/texx] es inyectiva. En egfecto, [texx]f[/texx] es inyeciva dado que si [texx]x\neq{y}[/texx] tenemos que:
[texx]x{<y}[/texx] o [texx]y{<x}[/texx].
Luego, [texx]f(x){<f(y)}[/texx]  o [texx]f(y){<f(x)}[/texx].
Por lo tanto, [texx]f(x)\neq{f(y)}[/texx], es decir, [texx]f[/texx] es inyectiva.
Ahora, como [texx]f[/texx] es inyectiva y sobreyectiva entonces existe la función [texx]f^{-1}[/texx]
Por otro lado, debemos probar primero que [texx]f[/texx] es continua. para ello, consideremos un intervalo abierto [texx]I = (a,b)\subset{V}[/texx] abierto.
veamos que [texx]f((a,b))[/texx] = [texx](f(a), f(b))[/texx]   (1)
Para probar esto debo emplear el hecho de que la función es estrictamente creciente.
Sin embargo, para demostrar la igualdad estaba empleando contenencias, pero no he llegado a ninguna parte. además debo probar la otra igualdad [texx]f^{-1} (a,b) = (f^{-1}(a), f^{-1}(b))[/texx]. (2)
¿podrían hacerme el favor de explicarme como probar estas dos igualdades usando el hecho de que [texx]f[/texx] es estrictamente creciente?
De antemano les agradezco infinitamente y que Dios los bendiga.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 14/12/2013, 07:08:04 am »

Hola

Ahora, como [texx]f[/texx] es inyectiva y sobreyectiva entonces existe la función [texx]f^{-1}[/texx]
Por otro lado, debemos probar primero que [texx]f[/texx] es continua. para ello, consideremos un intervalo abierto [texx]I = (a,b)\subset{V}[/texx] abierto.
veamos que [texx]f((a,b))[/texx] = [texx](f(a), f(b))[/texx]   (1)
Para probar esto debo emplear el hecho de que la función es estrictamente creciente.
Sin embargo, para demostrar la igualdad estaba empleando contenencias, pero no he llegado a ninguna parte. además debo probar la otra igualdad [texx]f^{-1} (a,b) = (f^{-1}(a), f^{-1}(b))[/texx]. (2)

Observa que si [texx]f[/texx] es estrictamente creciente, entonces [texx]f^{-1}[/texx] también lo es. Luego si probamos:

[texx]f((a,b))=(f(a),f(b))[/texx]   (1)

también habremos probado:

[texx]f^{-1} (a,b) = (f^{-1}(a), f^{-1}(b))[/texx].    (2)

Entonces:

 Dado [texx]c\in (a,b)[/texx] se tiene [texx]a<c<b[/texx] y de ahí por monotonía [texx]f(a)<f(c)<f(b)[/texx]. Deducimos que para cualquier función estrictamente creciente [texx]f((a,b))\subset (f(a),f(b))[/texx].

 Ahora usando ese resultado para la función [texx]f^{-1}[/texx]:

[texx] (f(a),f(b))\subset (f^{-1}f(a)),f^{-1}f(b))=(a,b)[/texx]

Saludos.

P.D. Ten en cuenta a la hora de terminar la pruba que (1) te servirá para probar que [texx]f^{-1}[/texx] es continua y (2) para probar que [texx]f[/texx] es continua.
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aangelo
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« Respuesta #4 : 15/12/2013, 02:04:16 am »

para probar que f es continua se hizo lo siguiente.
sea [texx](a,b)\subset{V}[/texx]  un conjunto abierto cualquiera.
Verifiquemos que [texx]f^{-1} (a,b)\subset{U}[/texx] es un conjunto abierto. Para ello, veamos que [texx]f^{-1} (a,b) = (f^{-1}(a),f^{-1}(b))[/texx].
Mediante contenencias, se demostró esta igualdad.
Luego, el intervalo abierto [texx](f^{-1}(a),f^{-1}(b))[/texx] de [texx]\mathbb{R}[/texx]  es un conjunto abierto. Así que  [texx]f^{-1} (a,b)[/texx]  es un conjunto abierto. Por lo tanto, f es continua en [texx]U[/texx].

Para probar que [texx]f^{-1}[/texx] es continua se hizo lo siguiente.
Se debe probar que [texx]f(a,b)= (f(a),f(b))\subset{E^{\prime}}[/texx] para todo [texx](a,b)\in{U}[/texx].
Como un intervalo abierto es un conjunto abierto entonces ([texx](f(a),f(b))[/texx] es un conjunto abierto. En consecuencia, [texx]f(a,b)[/texx] es un conjunto abierto.
Ahora como [texx]f(a,b)= (f(a),f(b))[/texx] implica [texx](a,b)\subset{f^{-1}(f(a),f(b))}\subset{U}[/texx].
el inconveniente que tengo es como concluir que la función [texx]f^{-1}[/texx]es continua.
De antemano, agradezco a ustedes sus valiosos aportes. Que Dios los bendiga.

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« Respuesta #5 : 15/12/2013, 06:16:58 am »

Hola

para probar que f es continua se hizo lo siguiente.
sea [texx](a,b)\subset{V}[/texx]  un conjunto abierto cualquiera.

[texx](a,b)[/texx] no es un abierto cualquiera; es una abierto básico. Pero es cierto que para ver que es continua, es suficiente verificar que la imagen recíproca de un abierto básico es abierta.

Dado que en el enunciado te dicen que [texx]V[/texx] es un intervalo si es cerrado de la forma [p,q] habría también que considerar los abiertos básicos de la forma [texx][p,b)[/texx] y [texx](a,q][/texx].

Cita
Para probar que [texx]f^{-1}[/texx] es continua se hizo lo siguiente.

En realidad con lo que has probado antes tienes que: toda función estrictamente creciente sobreyectiva entre dos intervalos es continua. Pero si [texx]f[/texx] es estrictamente creciente sobreyectiva tiene inversa (lo has probado) y ésta es igualmente estricitamente creciente sobreyectiva; por tanto ya tendrías probado que es continua.

Si aun así quieres probar explícitamente la continuidad de la inversa, de manera análoga a lo hecho antes has de probar que [texx](f^{-1})^{-1}(c,d)[/texx] es abierto. Pero:

[texx](f^{-1})^{-1}(c,d)=f(c,d)=(f(c),f(d))[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #6 : 16/12/2013, 01:34:17 am »

Para probar que [texx]f^{-1}[/texx] es una función continua, procedimos de la siguiente manera.

Sea [texx](c,d)\subset{U}[/texx] un conjunto abierto de [texx]\mathbb{R}[/texx] y veamos que [texx](f^{-1})^{-1}[/texx] es un conjunto abierto en [texx]V[/texx].
En la demostración para la continuidad de [texx]f[/texx] se probó que [texx]f^{-1}(a,b) = (f^{-1}(a),f^{-1}(b))[/texx].
Utilizando esta igualdad tenemos que:
[texx](f^{-1})^{-1}(c,d)= ((f^{-1})^{-1}(c),(f^{-1})^{-1}(d))= (f(c),f(d))= f(c,d)[/texx]
En este caso, tuvimos que probar lo siguiente utilizando contenencias [texx](f(c),f(d))= f(c,d)[/texx]. Sin embargo, al presentarle la demostración a una compañera de clase, ella  no ve la utilidad de esta igualdad en la demostración.
Ahora, como [texx](f(c),f(d))\subset{V}[/texx] es un intervalo abierto entonces es un conjunto abierto.
Pero, como[texx](f^{-1})^{-1}(c,d)= (f(c),f(d))[/texx] y [texx](f(c),f(d))[/texx] es abierto entonces [texx](f^{-1})^{-1}(c,d) [/texx] es abierto. Por lo tanto, [texx]f^{-1}[/texx] es una función continua
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« Respuesta #7 : 16/12/2013, 06:38:42 am »

Hola

Para probar que [texx]f^{-1}[/texx] es una función continua, procedimos de la siguiente manera.

Sea [texx](c,d)\subset{U}[/texx] un conjunto abierto de [texx]\mathbb{R}[/texx] y veamos que [texx](f^{-1})^{-1}[/texx] es un conjunto abierto en [texx]V[/texx].

Empiezas bien.

Cita
En la demostración para la continuidad de [texx]f[/texx] se probó que [texx]f^{-1}(a,b) = (f^{-1}(a),f^{-1}(b))[/texx].

Esta afirmación es correcta; pero en realidad no interviene para nada en la demostración que vas a hacer y mi sensación es que en el fondo causa confusión.

Cita
Utilizando esta igualdad tenemos que:

[texx](f^{-1})^{-1}(c,d)\color{red}=\color{black} ((f^{-1})^{-1}(c),(f^{-1})^{-1}(d))= (f(c),f(d))= f(c,d)[/texx]

¿Qué igualdad?. ¿Esta: [texx]f^{-1}(a,b) = (f^{-1}(a),f^{-1}(b))[/texx]? No. Esa no interviene para nada en lo anterior (a no ser que la estés aplicando para una nueva función [texx]f[/texx] inversa de la que ya tienes; pero eso es confuso).

En realidad la igualdad que he marcado en rojo, no está mal, pero tal como está escrito deja poco claro como está justificada. Lo primero que debes de utilizar es que la inversa de la inversa de una función es la función de partida, es decir:

[texx](f^{-1})^{-1}(c,d)=f(c,d)[/texx]

Esa hora cuando aplicamos:

Cita
En este caso, tuvimos que probar lo siguiente utilizando contenencias [texx](f(c),f(d))= f(c,d)[/texx]. Sin embargo, al presentarle la demostración a una compañera de clase, ella  no ve la utilidad de esta igualdad en la demostración.

[texx](f^{-1})^{-1}(c,d)=f(c,d)=(f(c),f(d))[/texx]

Saludos.
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