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Autor Tema: continuidad  (Leído 1013 veces)
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aangelo
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« : 11/12/2013, 12:15:04 am »

Buenas noches Comunidad de rincón matemático.
Quiero pedirles el inmenso favor de que me brinden una idea para continuar resolviendo el siguiente ejercicio.
 Debemos discutir la discontinuidad de la siguiente función:
[texx]f(x)=\begin{Bmatrix}x^2  & \mbox{ si }& x\neq{0}\\1 & \mbox{si}& x = 0\end{matrix}[/texx].
En este caso notamos que la función f es discontinua en el punto [texx]p= 0[/texx].
Para ello, debemos probar que existe [texx]\epsilon\geq{0}[/texx] (estrictamente) para todo [texx]m\geq{0} [/texx] (estrictamente) tal que existe [texx]p\in{R}[/texx] tal que [texx]d(p,0)\leq{m}[/texx]  y  [texx]d(f(p),f(0))\geq{\epsilon}[/texx].
¿debo encontrar el [texx]\epsilon\geq{0}[/texx] (estrictamente) tal que me pueda cumplir con los demás requisitos?
De antemano les agradezco por sus valiosos aportes.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 11/12/2013, 06:34:20 am »

Hola

 Entiendo que debes de probar la no continuidad por definición de límite.

 Digo esto porque la forma más directa de justificar que no es continua en [texx]x_0=0[/texx] es tener en cuenta que:

[texx] \displaystyle\lim_{x \to 0}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}x^2=0\neq 1=f(0)[/texx]

 Pero quieres justificar que el límite no [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{}f(x)[/texx] es [texx]f(0)[/texx] por definición. Entonces el propio cálculo anterior nos da la pista para elegir el [texx]\epsilon[/texx].

 Dado que el límites es [texx]0[/texx] y el valor de la función es [texx]1[/texx], entonces tomamos por ejemplo [texx]\epsilon=1/2[/texx].

 En ese caso:

[texx] d(f(x),f(0))=d(x^2,1)=|x^2-1|\color{red}=\color{black}1-x^2[/texx]

 (en la igualdad en rojo hemos supuesto que [texx]|x|<1[/texx]).

 Entonces queremos que [texx]1-x^2\geq 1/2[/texx]. Equivalentemente [texx]|x|\leq \sqrt{2}/2[/texx].

 Por tanto dado cualquier [texx]m\geq 0[/texx] existe [texx]x[/texx] tal que [texx]d(x,0)\leq min(m,\sqrt{2}(2))[/texx] tal que [texx]d(f(x),f(0))\geq \epsilon[/texx].

Saludos.
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