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Autor Tema: Sobre variable aleatoria, área de una plancha metálica.  (Leído 1140 veces)
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lindtaylor
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« : 10/12/2013, 12:33:53 am »

Suponga que las dimensiones X, Y de una plancha metálica rectangular se pueden considerar como variables aleatorias continuas independientes con las siguientes fdp.



[texx]X:\quad g(x)=\begin{cases} x-1 & \mbox{ si }& 1<x\leq 2\\-x+3 & \mbox{si}& 2<x<3\\0 & \mbox{ en otro caso }&\end{cases}[/texx]

[texx]Y:\quad h(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{2} & \mbox{ si }& 2<y<4 \\0 & \mbox{ en otro caso}& \end{cases}[/texx]

Encuentre la fdp del area de la plancha, [texx]A=XY[/texx].

Lo que tengo es lo siguiente:

Como [texx]X,Y[/texx] son independientes, entonces la fdp conjunta[texx] f_{X,Y} de (X,Y)[/texx] viene dada por [texx]f_{X,Y}(x,y)=g(x)h(y).[/texx]
Como [texx]A=XY[/texx] entonces [texx]a=xy[/texx], sea [texx]x=u[/texx], luego [texx]y=\frac{a}{x}[/texx], por Teorema (Meyer) se tiene que la fdp conjunta [texx]k(a,u)[/texx] de [texx](A,U)[/texx] viene dada por [texx]k(a,u)=g(u)h(\frac{a}{u})|\frac{1}{u}|[/texx] con [texx]|\frac{1}{u}|[/texx] la Jacobiana.

Por tanto la fdp de [texx]A[/texx] viene dada por [texx]f_A(a)=\int_{-\infty}^{\infty} k(a,x)=g(x)h(\frac{a}{x})|\frac{1}{x}|dx[/texx], y acá no sé que límites de integración tomar...
Cómo obtenerlos?
Desde ya gracias.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/12/2013, 05:49:55 am »

Hola

 En primer lugar ten en cuenta que si [texx]X\in [1,3][/texx] e [texx]Y\in [2,4][/texx] entonces [texx]A=XY\in [2,12][/texx].

 Fijado un valor de [texx]A=a[/texx], se tiene que [texx]x\in [1,3][/texx] e [texx]\dfrac{a}{x}=y\in [2,4][/texx].

 Pero:

[texx] \dfrac{a}{x}\in [2,4]\quad \Leftrightarrow{}\quad \dfrac{a}{4}\leq x\leq \dfrac{a}{2}[/texx]

 Por tanto:

[texx] x\in [max\{1,a/4\},min\{3,a/\color{red}2\color{black}\}].[/texx]

 Es decir los límites de tu integral serán:

 [texx]x\in [1,a/2][/texx] si [texx]a\in [2,4][/texx]

 [texx]x\in [a/4,a/2][/texx] si [texx]a\in [4,6][/texx]

 [texx]x\in [a/4,\color{red}3\color{black}][/texx] si [texx]a\in [6,12][/texx]

Saludos.

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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 10/12/2013, 10:00:03 pm »

Cómo deduciste los límites de integración? me complica mucho ese a/3, no veo de donde sale.
El primero lo veo, pues si [texx]$x\in [1,a/2] \Rightarrow 1>a/4 \wedge a/2<3 \Rightarrow 4>a \wedge a<6 \Rightarrow a<4 \Rightarrow a\in [2,4] $[/texx]
y así con los demás, pero ese a/3 no veo de donde sale...
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« Respuesta #3 : 11/12/2013, 05:10:05 am »

Hola

Cómo deduciste los límites de integración? me complica mucho ese a/3, no veo de donde sale.
El primero lo veo, pues si [texx]$x\in [1,a/2] \Rightarrow 1>a/4 \wedge a/2<3 \Rightarrow 4>a \wedge a<6 \Rightarrow a<4 \Rightarrow a\in [2,4] $[/texx]
y así con los demás, pero ese a/3 no veo de donde sale...

Es que mi mensaje tenía un par de erratas que he marcado en rojo. En realidad es:

[texx]x\in [a/4,\color{red}3\color{black}][/texx] si [texx]a\in [6,12][/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 20/04/2017, 11:16:35 pm »

Hola tengo interés en saber como se soluciona este problema, todo lo veo claro a excepción del como trabaja la parte de [texx]x∈[max\{1,a/4\},min\{3,a/2\}][/texx] para la obtención de los intervalos. Si me pudieras resolver esa duda estaría muy agradecido :sonrisa:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 21/04/2017, 05:31:08 am »

Hola

Hola tengo interés en saber como se soluciona este problema, todo lo veo claro a excepción del como trabaja la parte de [texx]x\in [max\{1,a/4\},min\{3,a/2\}][/texx] para la obtención de los intervalos. Si me pudieras resolver esa duda estaría muy agradecido :sonrisa:

Tenemos dos restricciónes para [texx]x[/texx]:

[texx]x\in [1,3][/texx]
[texx]x\in [a/4,a/2][/texx]

Eso quiere decir que [texx]x\geq 1[/texx] y [texx]x\geq a/4[/texx]; eso equivale a decir que [texx]x\geq max\{1,a/4\}[/texx].
También que [texx]x\leq 3[/texx] y [texx]x\leq a/2[/texx]; eso equivale a decir que [texx]x\leq min\{1,a/4\}[/texx].

Ahora estudiamos ese maximo y mínimo. Tenemos que

[texx]1\leq \dfrac{a}{4}\quad \Leftrightarrow{ }\quad 4\leq a[/texx]

Por tanto:

[texx]max\{1,a/4\}=\begin{cases} 1 & \text{si}& a\leq 4\\a/4& \text{si}& a>4\end{cases}[/texx]

Análogamente:

[texx]min\{3,a/2\}=\begin{cases} a/2 & \text{si}& a\leq 6\\3& \text{si}& a>6\end{cases}[/texx]

De ahí se deduce esto:

[texx]x\in [1,a/2][/texx] si [texx]a\in [2,4][/texx]

 [texx]x\in [a/4,a/2][/texx] si [texx]a\in [4,6][/texx]

 [texx]x\in [a/4,\color{red}3\color{black}][/texx] si [texx]a\in [6,12][/texx]

Saludos.
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« Respuesta #6 : 22/04/2017, 02:09:22 pm »

Muchas gracias, ahora si todo me queda claro  :sonrisa_amplia:.
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