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Autor Tema: cotas superiores e inferiores  (Leído 630 veces)
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aangelo
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« : 07/09/2013, 10:49:45 pm »

Buenas noches comunidad de rincón matemático.
Les pido el inmenso favor de que me ayuden con el siguiente ejercicio.
Encuentre el supremo y el ínfimo del conjunto

[texx]\left\{{\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{4}{9},\displaystyle\frac{13}{27},\displaystyle\frac{40}{81},...}\right\}[/texx].

Intuitivamente veo que el ínfimo es [texx]\displaystyle\frac{1}{3}[/texx], pero no sé cómo verificarlo.
Asimismo, el supremo parece ser que es [texx]\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]. De manera intuitiva he notado que cada elemento del conjunto se obtiene mediante la siguiente fórmula:
[texx]S_n=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{3^ {i-1}}}{3^n}[/texx].
En este caso, ¿cómo pruebo que esta sucesión converge a [texx]\displaystyle\frac{1}{2}[/texx] ?

Agradezco enormemente sus aportes y que Dios los bendiga.
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Lycan
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« Respuesta #1 : 07/09/2013, 11:48:23 pm »

En [texx]\displaystyle{\sum_{i=1}^n3^ {i-1}\over {3^n}}[/texx] la sumatoria de arriba es una suma geométrica.
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