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Autor Tema: Números complejos  (Leído 734 veces)
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aangelo
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« : 01/09/2013, 12:35:24 pm »

Buenos días comunidad de rincón matemático. Dios los Bendiga.
Quiero amablemente pedirles el favor de que me ayuden a verificar si la siguiente demostración está bien realizada.
Identifique [texx]R[/texx] (el conjunto de los números reales) como un subconjunto de [texx]C[/texx] (el conjunto de los números complejos). Demuestre [texx]i^2[/texx] = 1 y que cada elemento de C puede ser escrito en una única forma como  a+bi, con [texx]a,b\in{R}[/texx].
Nota. el producto se números complejos esta definido así:
(a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc), para todo [texx]a,b,c,d\in{R}[/texx].
Demostración.
[texx]i^2[/texx]= (0,1)*(0,1)= (0*0-1*1, 0*1+1*0)= (0-1,0)= (-1,0) = -1.
cada una de estas igualdades están justificadas por las propiedades de campo de los números reales.
por otro lado, sea [texx]Z\in{C}[/texx] tal que Z= a+bi y Z = c+di, donde [texx]a,c\in{R}[/texx]
Debemos probar que a = c  y c = d.
como Z = a+bi = c+di entonces por igualdad de números complejos tenemos que a = c y c = d.
por lo tanto, Z tiene una única representación.
Sinceramente esta demostración la veo muy, pero muy trivial.
En este momento estoy viendo el curso de análisis real y aún no nos han definido lo que es la igualdad de números complejos. sin embargo la asumimos y la utilizamos.
También quiero agradecerles por los aportes significativos que me han hecho hasta el momento.
Adiós.
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aangelo
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« Respuesta #1 : 07/09/2013, 11:22:30 pm »

para el caso de [texx]i^2[/texx] = -1, no hay ningún problema de los pasos a seguir, aunque hay que tener en cuenta que por notación se tiene que 1 = 1+0i = (1,0). Por otro lado, en cuanto  a la unicidad del número complejo si hay una variante.
Sea [texx]Z\in{R}[/texx] tal que [texx]Z = (a,b)[/texx] y [texx]Z = (c,d)[/texx] donde [texx]a,b,c,d\in{R}[/texx]. Veamos que a=c y c=d.
Tenemos que [texx]Z[/texx]= (a,b)=(c,d).
Luego, por igualdad de parejas ordenadas se obtiene a=b y c=d.
En la anterior demostración había colocado "por igualdad de números complejos", pero en el curso de análisis real no nos han definido lo que es igualdad de números complejos. En este sentido, si tenemos la definición de igualdad de parejas ordenadas.
En consecuencia, [texx]Z[/texx] tiene una única representación.
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Tanius
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« Respuesta #2 : 07/09/2013, 11:26:37 pm »

Hay una indentificación natural entre [texx]\mathbb{C}[/texx] y [texx]\mathbb{R} ^2[/texx]. A cada pareja [texx](a,b)[/texx] en el segundo se identifica biunívocamente con el complejo [texx]a+ib[/texx], y la unicidad de cada número complejo es, como dices, consecuencia de la igualdad entre parejas ordenadas.
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