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Autor Tema: Máximo de un conjunto  (Leído 940 veces)
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aangelo
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« : 30/08/2013, 09:58:28 pm »

Buenas tardes comunidad de rincón matemático.
Les pido el inmenso favor de que me ayuden a verificar la siguiente demostración que he realizado. Es decir, si está bien o deben hacerse determinadas correcciones.
Este es un ejercicio de análisis matemático, el cual requiere de las propiedades de campo y orden de los números reales.

Demuestre que para cada [texx]a,b\in{R},\;\max\left\{{a , b}\right\}=\displaystyle\frac{a+b-\left |{a-b}\right |}{2}[/texx]

Demostración.

Si [texx]\max\left\{{a , b}\right\}=a[/texx] entonces [texx]b\leq{a}[/texx].
Ahora, tenemos que [texx]a - b\geq{0}[/texx]
En consecuencia, [texx]\left |{a - b}\right|=a-b[/texx].

Así, [texx]\displaystyle\frac{a + b +\left |{a - b}\right |}{2}=a[/texx]. En este caso, se utilizan las propiedades de campo y orden de los números reales para demostrar esta última igualdad.
Por otro lado, si [texx]\max\displaystyle\frac{a + b + \left |{a - b}\right |}{2}=b[/texx] entonces [texx]a\leq{b}[/texx].

Ahora tenemos que [texx]\left |{b - a}\right | = b - a[/texx], donde [texx]b-a\geq{0}[/texx]
Así, [texx]\displaystyle\frac{a + b + \left |{a - b}\right |}{2}=b[/texx].
De manera similar al caso anterior se utilizan las propiedades de campo y orden para demostrar la igualdad.
Por lo tanto, se tiene [texx]\max\left\{{a,b}\right\}=\displaystyle\frac{a+b+\left |{a-b}\right |}{2}[/texx].

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Tanius
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« Respuesta #1 : 30/08/2013, 11:09:18 pm »

Lo veo bien.
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luis
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« Respuesta #2 : 31/08/2013, 07:37:06 pm »

no me queda clara la propuesta. entiendo que analizas dos casos:

A1. Si [texx]\max\{a,b\} = a[/texx], entonces [texx]\frac 12 (a+b-|a-b|) = a[/texx]
A2. Si [texx]\frac 12 (a+b-|a-b|) = b[/texx], (dice [texx]\max[/texx], pero supongo que es un error al copiar), entonces [texx]\max\{a,b\} = b[/texx]

pero me suena confuso. creo que esa estructura de la prueba viene de pensar el enunciado en una forma como...

Demuestre que para cada [texx]a,b,c\in{R},\;\max\{a , b\}=c \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a+b-\left |{a-b}\right |}{2} = c[/texx]

yo me quedaría con la escritura original de la prueba, y analizaría el caso [texx]b\leq{a}[/texx] y el caso [texx]a\leq{b}[/texx]. creo que quedaría más simple el planteo:

B1. Si [texx]b\leq{a}[/texx], entonces [texx]\max\{a,b\} = \frac 12 (a+b-|a-b|)[/texx] (que es muy parecido a tu argumento A1)
B2. Si [texx]a\leq{b}[/texx], entonces [texx]\max\{a,b\} = \frac 12 (a+b-|a-b|)[/texx] (que es la misma prueba, observando que [texx]|a-b| = |b-a|[/texx])

y listo; en todos los casos posibles, se cumple lo esperado.

saludos

luis
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aangelo
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« Respuesta #3 : 01/09/2013, 01:12:44 pm »

hola luis.
La demostración era la siguiente.
Demuestre que para cada [texx]a,b\in{R}[/texx],
[texx]max\left\{{a , b}\right\}[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{a+b+\left |{a-b}\right |}{2}[/texx]

demostración.
si máx[texx]\left\{{a , b}\right\}[/texx] = a entonces [texx]b\leq{a}[/texx].
Ahora, tenemos que [texx]a - b\geq{0}[/texx]
En consecuencia, [texx]\left |{a - b}\right |[/texx] = a - b.

Así, [texx]\displaystyle\frac{a + b +\left |{a - b}\right |}{2}[/texx] = a. En este caso, se utilizan las propiedades de campo y orden de los números reales para demostrar esta última igualdad.
por otro lado, si máx[texx] \left\{{a,b}\right\}[/texx] = b entonces [texx]a\leq{b}[/texx].
Ahora tenemos que [texx]\left |{b - a}\right |[/texx] = b - a, donde [texx]b-a\geq{0}[/texx]
Así, [texx]\displaystyle\frac{a + b + \left |{a - b}\right |}{2}[/texx] = b. De manera similar al caso anterior se utilizan las propiedades de campo y orden para demostrar la igualdad.
Por lo tanto, se tiene máx[texx]\left\{{a,b}\right\}[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{a+b+\left |{a-b}\right |}{2}[/texx].
Para la demsotración, Usted propone que hagamos
Si [texx]b\leq{a}[/texx] entonces máx[texx]\left\{{a,b}\right\}[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{a+b+\left |{a-b}\right |}{2}[/texx].
supongamos que [texx]b\leq{a}[/texx].
Luego tenemos que máx[texx]\left\{{a,b}\right\}[/texx] = a
Además,  [texx]b\leq{a}[/texx] implica [texx]a-b\geq{0}[/texx]
En consecuencia,  [texx]\left |{a-b}\right |[/texx] = a-b.
Luego, mediante las propiedades de campo de los números reales debemos probar que  [texx]\displaystyle\frac{a+b+\left |{a-b}\right |}{2}[/texx] = a.
De manera análoga demostramos que si [texx]a\leq{b}[/texx] entonces máx[texx]\left\{{a,b}\right\}[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{a+b+\left |{a-b}\right |}{2}[/texx].
¿esa es la estructura que me sugieres que siga?
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luis
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« Respuesta #4 : 02/09/2013, 02:57:30 am »


a mi entender, tu último envío tiene una reescritura adecuada y más clara que la de tu primer envío. yo proponía separar los casos: [texx]a \leq b[/texx] y [texx]b \leq a[/texx]. tú propones, en el último correo, separar los casos: [texx]\max \{a, b\} = a[/texx] y [texx]\max \{a,b\} = b[/texx]. tu actual propuesta me parece correcta y clara.

saludos

luis
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