Tres problemas

[sitlitus]

Buenas,
veréis, tengo una duda en estos problemas.
1.- Encontrar la familia de curvas ortogonales a las hipérbolas .
Solución:
Un día hice una pregunta similar, y me dijeron que despejara la variable (y me dio la solución correcta), ¿pero por qué ahora no debo despejar la variable?

2.-¿Para qué valores de a y b del problema de valor inicial:

con y(0)=a, y'(0)=b
es una función periódica?
Solución: a=0,b=1

3.-Estudia la estabilidad de las soluciones de: según el valor de k.
Solución: Asintóticamente estables para k\in{(0,2)}, estables para k=2 y k=0, e inestables para cualquier otro valor.
Si fuera sólo con la derivada tercera aplicaría el método de la matriz de Hurwitz, pero al haber una derivada cuarta no sé si debo hacer la matriz de Hurwitz igualmente o ir hacia otro camino.

Eso, es todo.
SAludos y buena suerte en los finales.

[Jabato]

1.- Derivando la ecuación de la hipérbola respecto a x tenemos:

(1)                    (2)   

que es la ecuación diferencial del haz de hipérbolas. El haz ortogonal se obtiene substituyendo y' por -1/y' e integrando la ecuacion diferencial correspondiente:

(3)   

cuya solución, es la solución que aparece en tu enunciado, puesto que:

(4)   

es de integración inmediata:

(5)   

La explicación de tu duda es muy sencilla, para obtener la ecuación diferencial del haz ortogonal solo debes obtener primero la ecuación diferencial del haz dado, ecuación (2) en este caso, substituir y' por -1/y' en dicha ecuación diferencial, ecuación (3) y volver a integrar la ecuación diferencial resultante, ecuaciónes (4) y (5)

Estos pasos son seguros porque responden a las definiciones y conceptos generales y te llevan siempre a la solución, cualquier otra cosa puede conducirte a la solución en algún caso particular, pero no tiene validez general.

Saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

 2) Una solución particular de la ecuación diferencial es:

 y=Sin(x)

 Esta ya es periódica, por tanto:

 a=y(0)=sin(0)=0

 b=y'(0)=cos(0)=1

 La solución general es del tipo:



 Por tanto no hay más soluciones periódicas.

 Para hallar la solución se usa la teoría general de ecuaciones diferenciales lineales. Si tienes problema con eso pregunta.

Saludos.

[sitlitus]

Ok,
gracias a ambos, solo hay una cosa que no sé como hacer, pasar de la ecuación (3) a la (4) en el ejercicio de Jabato, si me pudieras ayudar también con esto te lo agradeciria mucho.
SAludos!

[el_manco]

Hola

 3) En cuanto al tercero, se tiene:

 - Es asintóticamente estable si y sólo si la parte real de todos los autovalores es negativa.

 - Es inestable si algún autovalor tiene parte real positiva.

 - Si la parte real de todos los autovalores es no positiva y los de parte real 0 son simples, entonces es estable.

 Teniendo en cuenta eso:

 - Es fácil ver que si k<0 entonces el polinomio tiene alguna raíz con parte real positiva. Por tanto es inestable.

 - Si k=0, es inmediato que x=0 es una raíz simple y fácil comprobar que las demás tienen parte real negativa. Por tanto es estable.

 - El polinomio característico tiene un único mínimo en -1, allí vale k-2. Si k=2, de nuevo tienes una raíz simple x=0 y el resto con parte real negativa.

 Falta un poquillo más para terminar....

Saludos.

P.D. Para pasar de la ecuación (3) a la (4) en el desarrollo de Jabato, escribe en lugar de y', dy/dx. Quita denominadores, divide por y, y listo...

[sitlitus]

Gracias el_manco,
respecto al tercero, me intersaba saber cómo plantearlo, y con lo que me has dicho ya lo tengo bien entendido, y ahora lo de Jabato ya me ha salido también 
SAludos!

[sitlitus]

Hola de nuevo,
hoy he hecho el examen final de ecuaciones diferenciales, y bueno, me ha ido bien, pero había una pregunta que me ha hecho gracia:
¿Para qué condiciones iniciales la solución de la ecuación diferencial:

tiene soluciones periódicas?
A mi me ha salido y(0)=-1/2, y'(0)=0, ya que la solución es , ¿me podéis confirmar que lo he hecho bien?

[el_manco]

Hola

 Si entendí bien, la pregunta es:

 ¿Para qué condiciones inciales la ecuación diferencial



 tiene por solución ?.

 Entonces, como es lineal de orden 2, hay que imponer dos condiciones iniciales. No hay más que evaluar la función solución y su derivada en un punto. Si lo haces en t=0, pues efectivamente obtienes y(0)=-1/2 e y'(0)=0.

Saludos.

[sitlitus]

Hola el_manco.
Perdón, he visto un error gravísimo en mi explicación del problema  .
La cosa era:
Para qué condiciones iniciales la solución de la ecuación diferencial:

tienen soluciones periódicas.
El mismo tipo de pregunta que te pregunté el martes, por lo que si la hago bien será gracias a ti. 
SAludos!

[el_manco]

Hola

 Ah!, ya entiendo. Ya veo porque te hizo gracia, es casi idéntica a la que preguntaste.

 El razonamiento es el mismo. Ahora la solución general es:



 La única solución periódica aparece si P=0 y Q=0. Y por tanto las condiciones iniciales son las que dices.

Saludos.

[sitlitus]

Hola,
Bien, me alegra saber que la hize bien 
Si es que la primera pregunta que te hice es indescifrable  ...
Bueno, pues muchas gracias por ayudarme a sacar una mejor nota en el examen.
SAludos y buenas vacaciones!!