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Autor Tema: Consulta sobre funciones uniformemente integrables  (Leído 876 veces)
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aeonxxx
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« : 20/06/2013, 07:17:57 pm »

Hola que tal? Queria ver si me ayudan a concluir este ejercicio:

Probar que si [texx]f_n\longrightarrow{f}[/texx] en medida, y la medida de E es finita. [texx]f_n[/texx] es uniformemente integrable sobre [texx]E\subseteq{R^d}[/texx] si y solo si f es integrable sobre E y ademas se tiene [texx]\displaystyle\int_{E}  \left |{f_n -f}\right | dx \longrightarrow{0}[/texx]

Una sucesion de funciones [texx](f_n)[/texx] se dice uniformemente integrable si:
i) sup [texx]\displaystyle\int_{E}  \left |{f_n}\right | dx <  +\infty [/texx]  [texx](\forall{n\in{N}})[/texx]
ii) Dado [texx]\epsilon>0[/texx], existe [texx]\delta>0[/texx] tal que si [texx]B\subseteq{E}[/texx], [texx]\left |{B}\right |< \delta[/texx], entonces sup [texx]\displaystyle\int_{E}  \left |{f_n}\right | dx <  \epsilon [/texx]  [texx](\forall{n\in{N}})[/texx]

Me salio la ida y la vuelta la pude demostrar para todo [texx]n\geq{n_0}[/texx], no se como hacer para probar i) y ii) para los [texx]n\leq{n_0}[/texx].

Espero que me puedan ayudar. Yo creo que podria descartar esas primeras [texx]f_n[/texx], pero no estoy segura.

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aeonxxx
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« Respuesta #1 : 22/06/2013, 04:54:02 pm »

Me parece que para decir algo sobre las [texx]f_n[/texx] menores que [texx]n_0[/texx] debería tener alguna hipótesis adicional.
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numbsoul
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« Respuesta #2 : 24/06/2013, 06:23:51 pm »

Creo que la hipótesis adicional es que las [texx]f_{n}[/texx] sean integrables.
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