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Autor Tema: Consulta sobre la medida del producto cartesiano  (Leído 611 veces)
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aeonxxx
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« : 20/06/2013, 06:59:33 pm »

Hola, que tal? Quería ver si me podían ayudar con el siguiente ejercicio:

Llamando m a la medida exterior de Lebegue, quiero probar que:

m([texx]A\times{B}[/texx])=m(A)m(B) para todo par de conjuntos [texx]A \subseteq{R^n}[/texx] y [texx] B \subseteq{R^m}[/texx]

Me salio la desigualdad [texx]\leq{}[/texx] y para ver [texx]\geq{}[/texx], hice lo siguiente:

m([texx]A\times{B}[/texx]) [texx]\geq{m(A*\times{B*}})[/texx] - [texx]\epsilon[/texx] para un [texx]\epsilon[/texx] dado, con A*[texx]\times{B*}[/texx] un abierto que contiene a AxB (editado)

Entonces, A* y B* son abiertos con [texx]A\subseteq{A*}[/texx] y [texx]B\subseteq{B*}[/texx].

Aquí uso que productos de medibles es medible (lo probé con el Principio de Cavalieri) y la montonía de la medida de Lebesgue. Así, como [texx]\epsilon[/texx] es arbitrario, se tiene lo pedido.

Está bien? Me hace un poco de ruido tomar que cualquier abierto que cubre a [texx]A\times{B}[/texx] sea de la pinta [texx]A*\times{B*}[/texx]
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