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Autor Tema: ¿Contradice esto el teorema de la función inversa?  (Leído 800 veces)
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angiepaola
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« : 15/06/2013, 11:32:08 am »

Sea [texx]f(t)=t+2t^2 \sen(\frac{1}{t})[/texx] para [texx]t\neq0[/texx] y [texx]f(0)=0[/texx]. Demuestre que [texx]f'(0)=1[/texx], [texx]f'[/texx] es acotada en [texx](-1,1)[/texx], pero que [texx]f[/texx] no es 1-1 en ninguna vecindad de cero. ¿Contradice esto el teorema de la función inversa?
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pierrot
pabloN
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« Respuesta #1 : 15/06/2013, 08:03:51 pm »

Hola, bienvenida al foro.

Sea [texx]f(t)=t+2t^2 \sen(\frac{1}{t})[/texx] para [texx]t\neq0[/texx] y [texx]f(0)=0[/texx]. Demuestre que [texx]f'(0)=1[/texx], [texx]f'[/texx] es acotada en [texx](-1,1)[/texx], pero que [texx]f[/texx] no es 1-1 en ninguna vecindad de cero.

¿Tienes alguna dificultad con esta parte?

Por ejemplo, para demostrar que [texx]f'(0)=1[/texx] debes analizar el límite:

[texx]\begin{align*}\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}&=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \left[1+2h\sen\Big(\frac{1}{h}\Big)\right]\end{align*}[/texx]

El límite de la suma es la suma de los límites y el producto de una función acotada por otra que tiende a cero, tiende a cero.

Para ver que [texx]f'[/texx] es acotada, intenta acotar en el intervalo que te piden:

[texx]f'(t)=1+4t\sen(\frac{1}{t})+2t^2\cos(\frac{1}{t})\cdot (-\frac{1}{t^2})[/texx]

¿Contradice esto el teorema de la función inversa?

¿Cómo les enunciaron el teorema de la función inversa?

Saludos.
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