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Autor Tema: Problema de longitudes de un triángulo rectángulo.  (Leído 1596 veces)
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Garabato
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« : 16/06/2007, 10:36:16 pm »

Hola

Ayuda por favor con este problema:

Si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son, en orden creciente, a, b y c. Demuestre que [texx]a^3 + b^3 < c^3[/texx].

Intenté con el teorema de Pitágoras, y con el que dice que en un triángulo la suma de dos lados es mayor que el otro lado, pero no llegué a una buena demostración...y me quedé sin ideas  :¿eh?:.

Gracias   
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Alex123
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« Respuesta #1 : 16/06/2007, 10:58:44 pm »

Como es rectángulo por Pitágoras tenemos: [texx]a^2+b^2=c^2[/texx]

Entonces: [texx]a^2=(c+b)(c-b)\Rightarrow{\displaystyle\frac{a^2}{(c+b)}=(c-b)}[/texx]

Si se cumpliese la desigualdad pedida, se debería cumplir que (y recíprocamente):[texx]a^3<c^3-b^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)[/texx]

Sustituyendo por el valor que obtuvimos por Pitágoras:[texx]a^3<\left(\displaystyle\frac{a^2}{(c+b)}\right)(c^2+cb+b^2)[/texx]

Hay que probar que:[texx]a<\displaystyle\frac{c^2+cb+b^2}{(c+b)}[/texx]

[texx](c+b)^2-cb=c^2+cb+b^2[/texx]

[texx]a<\displaystyle\frac{(c+b)^2-cb}{(c+b)}=(c+b)-\displaystyle\frac{cb}{c+b}[/texx]

transformando un poco la expresión:
[texx](c+b)-\displaystyle\frac{cb}{c+b}=c+\displaystyle\frac{-cb+cb+b^2}{c+b}=c+\displaystyle\frac{b^2}{c+b}[/texx]

Y como c>a y [texx]\frac{b^2}{c+b}>0[/texx] se cumple la desigualdad
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 17/06/2007, 07:34:57 am »

Hola

 De manera directa, si [texx]a^2+b^2=c^2[/texx],

[texx] a^3+b^3<a^2c+b^2c=(a^2+b^2)c=c^3[/texx]

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #3 : 17/06/2007, 09:28:11 am »

Ó también:

[texx]c^3 = cc^2 = c(a^2 + b^2) = ca^2 + cb^2 > a^3 + cb^2 > a^3 + b^3[/texx]

por ser:

c > a              c > b

Saludos, Jabato.
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Garabato
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« Respuesta #4 : 17/06/2007, 10:24:04 pm »

Muchas gracias por sus respuestas.
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