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Autor Tema: Subconjuntos cerrados de los racionales Q  (Leído 1122 veces)
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athair
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« : 11/05/2013, 09:16:37 pm »

Quisiera preguntar si pueden construirse, por así decir (o deducirse...) subconjuntos cerrados del (o contenidos en el) conjunto de racionales Q, agregando a subconjuntos de racionales predeterminados, clausuras (o adherencias) constituidas por los irracionales que resultan de tomar límites de sucesiones de los racionales de cada subconjunto de racionales. Es decir, surgirían estos subconjuntos cerrados, por la unión (U) de los subconjuntos iniciales tomados en Q, por un lado, y las clausuras así construidas.

pd: rigurosamente hablando, por esa vía no estoy seguro de si se construirían subconjuntos cerrados o abiertos...por un lado; además, el hecho de que dichas clausuras no contengan racionales, haría de dichas uniones (U), según comprendo ahora, subconjuntos abiertos...pero en tal caso: ¿Cómo podrían entonces, construirse subconjuntos cerrados dentro de Q? ¿Tal vez remitiéndose a los enteros?

Bueno, muchas gracias a todos!!!
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« Respuesta #1 : 16/10/2013, 01:20:28 am »

Q tiene la estructura de un conjunto ordenado sin mínimo, máximo, ni saltos.
Es una topología del orden con esas características.

Los abiertos se generan, entonces, con uniones arbitrarias de intervalos racionales abiertos.
Los cerrados son los complementos de estos conjuntos.

En particular, Q tiene la propiedad de que los puntos son cerrados.
Así que todo conjunto finito en Q es cerrado.

Las uniones de abiertos convexos (o sea, si a, b, son elementos del conjunto, entonces todo c tal que a < c < b también está en el conjunto), tales que todos ellos tienen al menos un punto p en común, es un abierto convexo que contiene a p.

En particular, si tomamos sucesiones de racionales [texx]q_n,r_n[/texx], tales que [texx]q_{n+1}\leq q_n < r_n\leq r_{n+1}[/texx], la unión de los intervalos [texx](q_n, r_n)[/texx] será un abierto convexo.

Si ahora tomáramos esas sucesiones de manera que tiendan a un número irracional, obtendríamos un conjunto convexo, que no es todo Q, y que tampoco es un intervalo en Q.  :guiño:
(Sin embargo, sí que es la intersección de Q con un intervalo abierto de R).

Los complementos de estos conjuntos son cerrados en Q.

Es decir, hay muchas maneras de construir cerrados en Q,
pero creo que esto conviene estudiarlo meditando cómo son los abiertos en Q.

Por ejemplo, ¿es verdad que todo abierto en Q es la unión de una cantidad finita o numerable de abiertos convexos y disjuntos?
En tal caso, tendrías "fácil" determinar los cerrados, tomando complementos...

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 16/10/2013, 05:05:24 am »

Por ejemplo, ¿es verdad que todo abierto en Q es la unión de una cantidad finita o numerable de abiertos convexos y disjuntos?

Es verdad. Todo abierto en [texx]\mathbb Q[/texx] es de la forma [texx]A\cap \mathbb Q[/texx], donde [texx]A[/texx] es un abierto en [texx]\mathbb R[/texx]. Todo abierto en [texx]\mathbb R[/texx] es unión numerable de intervalos disjuntos dos a dos, luego todo abierto en [texx]\mathbb Q[/texx] es unión numerable de convexos disjuntos dos a dos.

Por otra parte, todo cerrado en [texx]\mathbb Q[/texx] es de la forma [texx]C\cap \mathbb Q[/texx], donde [texx]C[/texx] es un cerrado en [texx]\mathbb R[/texx].
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« Respuesta #3 : 16/10/2013, 03:04:40 pm »

Mmmm... Carlos, no hacía falta que respondas esa pregunta.
Tras escribirla me dí cuenta que la cuenta era sencilla, pero no tuve ganas de modificar el texto o agregar detalles, y también deseaba que althair sea quien la responda.




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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 16/10/2013, 05:27:34 pm »

Mmmm... Carlos, no hacía falta que respondas esa pregunta.
Tras escribirla me dí cuenta que la cuenta era sencilla, pero no tuve ganas de modificar el texto o agregar detalles, y también deseaba que althair sea quien la responda.

Ah, lo siento, aunque me extrañó, entendí que lo preguntabas "de verdad". Disculpas.
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« Respuesta #5 : 16/10/2013, 06:36:49 pm »

Y... más o menos.

Se me ocurrió que eso podía ser cierto, y tenía toda la pinta de que era verdad, así que lo escribí.
Pero luego tuve la duda por un momento de si no me estaba pasando por alto algún detalle, y así me pareció más exacto no afirmarlo categóricamente.
Y después que envié el mensaje, ya lo dejé así de todos modos porque me pareció interesante que althair lo medite.

O sea, no es culpa tuya que no pudieras adivinar todo lo que pasó mientras "disparaba" ese post...

Me gustaría ahora que althair nos diga si entendió o le sirvió lo que se ha explicado aquí.
Aún siento que falta algo de eso aquí...
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« Respuesta #6 : 07/11/2019, 08:46:26 pm »

gracias por las respuestas! ha pasado bastante tiempo desde las mismas hasta aqui!

aprovecho para hacer algunas preguntas, si es posible.

los puntos de Q son conjuntos (unitarios) cerrados debido a que existen Bolas con centro en los mismos y de radio >0 tales que contienen elementos no racionales?

la relacion entre conjuntos abiertos y (o como resultantes de) la union de abiertos disjuntos (ej. "los abiertos se generan, entonces, como uniones arbitrarias de intervalos racionales abiertos"; "todo abierto en Q es la union de una cantidad finita o numerable de abiertos convexos y disjuntos"; "todo abierto en R es union numerable de intervalos disjuntos") es la que esta implicita en el concepto de Base de un espacio topologico (y que, por asi decir, recuerda al concepto de vectores de un espacio vectorial como resultantes de combinaciones lineales de vectores l.i. que forman una Base en el mismo)?

me pregunto, por otro lado, acerca de la compatibilidad de la definicion de conjunto abierto como union de abiertos disjuntos, por un lado, y la definicion de conjunto abierto en terminos de la existencia, para todos los puntos del abierto, de bolas abiertas B(x, r) de radio r y centro x (de modo tal que en cualquier entorno de cada punto del conjunto existan otros puntos que pertenezcan al conjunto, y no al complemento): la compatibilidad implicaria que la union de abiertos disjuntos (un abierto) equivale (o es identica) a la union de bolas definidas para los abiertos disjuntos iniciales (antes de pasar a la union), y en cuyo caso, la union de bolas para conjuntos iniciales disjuntos requiere la suma de radios?

no se si quedan muy claras mis inquietudes, debo reconocer que mi experiencia en temas de teoria de conjuntos es casi nula (de ahi el caracter poco usual de algunas preguntas)...bueno, cualquier observacion es bienvenida. gracias
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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 08/11/2019, 07:52:22 am »

Hola

gracias por las respuestas! ha pasado bastante tiempo desde las mismas hasta aqui!

aprovecho para hacer algunas preguntas, si es posible.

Voy a tratar de contestar; pero vaya por delante que tengo dudas de que teoría conoces sobre topología o espacios métricos, para poder basar en algo las respuestas. Es decir lo primero sería que estudiases un poco de topología y luego preguntar. En otro caso todo lo que diga no servirá de mucho.

Digo esto porque algunas preguntas se contestan por mera aplicación de las definiciones.

Cita
los puntos de Q son conjuntos (unitarios) cerrados debido a que existen Bolas con centro en los mismos y de radio >0 tales que contienen elementos no racionales?

No. En absoluto. Son cerrados porque su complementario es abierto; o dicho de otra manera un punto [texx]\{q_0\}[/texx] es cerrado porque cualquier otro punto distinto tiene una bola abierta centrada en él que no contiene a [texx]q_0[/texx]. Pero eso es aplicación directa de la teoría.

Cita
la relacion entre conjuntos abiertos y (o como resultantes de) la union de abiertos disjuntos (ej. "los abiertos se generan, entonces, como uniones arbitrarias de intervalos racionales abiertos"; "todo abierto en Q es la union de una cantidad finita o numerable de abiertos convexos y disjuntos"; "todo abierto en R es union numerable de intervalos disjuntos") es la que esta implicita en el concepto de Base de un espacio topologico (y que, por asi decir, recuerda al concepto de vectores de un espacio vectorial como resultantes de combinaciones lineales de vectores l.i. que forman una Base en el mismo)?

No tiene nada que ver (o muy muy poco) el concepto de base en un espacio vectorial con el concepto de base en un espacio topológico.

En un espacio topológico una base es una familia de abiertos que te permite poner cualquier otro como unión de ellos (pero no necesariamente unión disjunta).

Cita
me pregunto, por otro lado, acerca de la compatibilidad de la definicion de conjunto abierto como union de abiertos disjuntos,


Es que eso no es una definición. De hecho tal como lo has redactado es circular porque defines abierto como unión de abiertos.

Cita
por un lado, y la definicion de conjunto abierto en terminos de la existencia, para todos los puntos del abierto, de bolas abiertas B(x, r) de radio r y centro x (de modo tal que en cualquier entorno de cada punto del conjunto existan otros puntos que pertenezcan al conjunto, y no al complemento): la compatibilidad implicaria que la union de abiertos disjuntos (un abierto) equivale (o es identica) a la union de bolas definidas para los abiertos disjuntos iniciales (antes de pasar a la union), y en cuyo caso, la union de bolas para conjuntos iniciales disjuntos requiere la suma de radios?

Insisto en que te estás liando. Simplemente antes te han citado una propiedad particular de [texx]\mathbb{R}[/texx]: todo abierto puede expresarse como unión disjunta de intervalos abiertos.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 13/11/2019, 04:26:39 am »

gracias por larespuesta! la verdad es que hace mucho me ha atraido la teoria de integracion de funciones(tuve algunas materias de calculo en la universidad a partir de las cuales di con algunos textos de calculo en los que se veia muy someramente la integral de Riemann; luego, un dia me anoticie acerca de la integral de Lebesgue y desde ahi, siempre me intereso la cuestion; consegui un libro sobre espacios normados y mucho despues, un libro sobre integral de Lebesgue pero casi siempre ocurria que alguna cuestion tenia el aspecto de ser de un nivel muy avanzado, digamos...y al buscar en internet algo sobre dichas cuestiones avanzadas...termine en algun libro de topologia (hace poco consegui uno de Kuratowski...que parece completo aunque muy exigente). Parece como si el enfasis se desplazara hacia el estudio de la naturaleza de ciertas funciones (basando el estudio en cuestiones topologicas, por ej.), primero, antes de que pudiera tener algun sentido la nocion de integral (y medida) para una funcion. Me pregunto si se podra ir aprendiendo algo de topologia a traves de la lectura y o estudio de algun libro de la materia? cualquier recomendacion de textos, etc.es mas que bienvenida. Saludos
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« Respuesta #9 : 16/11/2019, 10:22:25 pm »

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