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Autor Tema: Subconjuntos cerrados de los racionales Q  (Leído 1024 veces)
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athair
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« : 11/05/2013, 09:16:37 pm »

Quisiera preguntar si pueden construirse, por así decir (o deducirse...) subconjuntos cerrados del (o contenidos en el) conjunto de racionales Q, agregando a subconjuntos de racionales predeterminados, clausuras (o adherencias) constituidas por los irracionales que resultan de tomar límites de sucesiones de los racionales de cada subconjunto de racionales. Es decir, surgirían estos subconjuntos cerrados, por la unión (U) de los subconjuntos iniciales tomados en Q, por un lado, y las clausuras así construidas.

pd: rigurosamente hablando, por esa vía no estoy seguro de si se construirían subconjuntos cerrados o abiertos...por un lado; además, el hecho de que dichas clausuras no contengan racionales, haría de dichas uniones (U), según comprendo ahora, subconjuntos abiertos...pero en tal caso: ¿Cómo podrían entonces, construirse subconjuntos cerrados dentro de Q? ¿Tal vez remitiéndose a los enteros?

Bueno, muchas gracias a todos!!!
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« Respuesta #1 : 16/10/2013, 01:20:28 am »

Q tiene la estructura de un conjunto ordenado sin mínimo, máximo, ni saltos.
Es una topología del orden con esas características.

Los abiertos se generan, entonces, con uniones arbitrarias de intervalos racionales abiertos.
Los cerrados son los complementos de estos conjuntos.

En particular, Q tiene la propiedad de que los puntos son cerrados.
Así que todo conjunto finito en Q es cerrado.

Las uniones de abiertos convexos (o sea, si a, b, son elementos del conjunto, entonces todo c tal que a < c < b también está en el conjunto), tales que todos ellos tienen al menos un punto p en común, es un abierto convexo que contiene a p.

En particular, si tomamos sucesiones de racionales [texx]q_n,r_n[/texx], tales que [texx]q_{n+1}\leq q_n < r_n\leq r_{n+1}[/texx], la unión de los intervalos [texx](q_n, r_n)[/texx] será un abierto convexo.

Si ahora tomáramos esas sucesiones de manera que tiendan a un número irracional, obtendríamos un conjunto convexo, que no es todo Q, y que tampoco es un intervalo en Q.  :guiño:
(Sin embargo, sí que es la intersección de Q con un intervalo abierto de R).

Los complementos de estos conjuntos son cerrados en Q.

Es decir, hay muchas maneras de construir cerrados en Q,
pero creo que esto conviene estudiarlo meditando cómo son los abiertos en Q.

Por ejemplo, ¿es verdad que todo abierto en Q es la unión de una cantidad finita o numerable de abiertos convexos y disjuntos?
En tal caso, tendrías "fácil" determinar los cerrados, tomando complementos...

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 16/10/2013, 05:05:24 am »

Por ejemplo, ¿es verdad que todo abierto en Q es la unión de una cantidad finita o numerable de abiertos convexos y disjuntos?

Es verdad. Todo abierto en [texx]\mathbb Q[/texx] es de la forma [texx]A\cap \mathbb Q[/texx], donde [texx]A[/texx] es un abierto en [texx]\mathbb R[/texx]. Todo abierto en [texx]\mathbb R[/texx] es unión numerable de intervalos disjuntos dos a dos, luego todo abierto en [texx]\mathbb Q[/texx] es unión numerable de convexos disjuntos dos a dos.

Por otra parte, todo cerrado en [texx]\mathbb Q[/texx] es de la forma [texx]C\cap \mathbb Q[/texx], donde [texx]C[/texx] es un cerrado en [texx]\mathbb R[/texx].
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« Respuesta #3 : 16/10/2013, 03:04:40 pm »

Mmmm... Carlos, no hacía falta que respondas esa pregunta.
Tras escribirla me dí cuenta que la cuenta era sencilla, pero no tuve ganas de modificar el texto o agregar detalles, y también deseaba que althair sea quien la responda.




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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 16/10/2013, 05:27:34 pm »

Mmmm... Carlos, no hacía falta que respondas esa pregunta.
Tras escribirla me dí cuenta que la cuenta era sencilla, pero no tuve ganas de modificar el texto o agregar detalles, y también deseaba que althair sea quien la responda.

Ah, lo siento, aunque me extrañó, entendí que lo preguntabas "de verdad". Disculpas.
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« Respuesta #5 : 16/10/2013, 06:36:49 pm »

Y... más o menos.

Se me ocurrió que eso podía ser cierto, y tenía toda la pinta de que era verdad, así que lo escribí.
Pero luego tuve la duda por un momento de si no me estaba pasando por alto algún detalle, y así me pareció más exacto no afirmarlo categóricamente.
Y después que envié el mensaje, ya lo dejé así de todos modos porque me pareció interesante que althair lo medite.

O sea, no es culpa tuya que no pudieras adivinar todo lo que pasó mientras "disparaba" ese post...

Me gustaría ahora que althair nos diga si entendió o le sirvió lo que se ha explicado aquí.
Aún siento que falta algo de eso aquí...
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