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Autor Tema: Método integral  (Leído 588 veces)
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Capitan Trueno
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« : 11/05/2013, 03:56:25 pm »

Resolución de las integrales de la forma:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{Ax^2+Bx+C}[/texx]


cuando el denominador tiene raíces imaginarias.

Sea:

      a).-  La abcisa del vértice del polígono del denominador:


[texx]x_o=\displaystyle\frac{-B}{2A}[/texx]


      b).- El discriminante de dicho polígono:


[texx]\Delta=-k^2=B^2-4AC[/texx]


La integral se resuelve fácilmente con dos cambios de variable consecutivos:

1º).- Una traslación horizontal que lleve el vértice de la parábola del denominador al eje Y:


[texx]t=x-x_o[/texx]


transforma la integral en:


[texx]{{{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{Ax^2+Bx+C}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{A(t+x_o)^2+B(t+x_o)+C}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{At^2+Ax_o^2+Bx_o+C}=2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2Adt}{(2At)^2+k^2}}}}[/texx]


2º).- Un segundo cambio, un cambio de escala, la normaliza y la hace inmediata:


[texx]2At=ku[/texx]


[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{Ax^2+Bx+C}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{A(t+x_o)^2+B(t+x_o)+C}=2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2Adt}{(2At)^2+k^2}=\displaystyle\frac{2}{k}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{du}{u^2+1}[/texx]


Ambos cambios de variable pueden resumirse en uno solo:


[texx]x=x_o+\displaystyle\frac{ku}{2A}[/texx]

Salu2
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