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Autor Tema: Imagen de un conjunto  (Leído 2045 veces)
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aangelo
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« : 04/05/2013, 11:45:47 pm »

Buenas noches.
 
¿Podrían brindarme una idea por favor en la siguiente demostración?

sea [texx]f: M\longrightarrow{N}[/texx], una aplicación o función. Demuestre que:

[texx]f(A\cap{B}) = f(A)\cap{(B)}[/texx], [texx]\forall{A, B }[/texx] subconjuntos de [texx]M[/texx] implica [texx]f[/texx] es uno a uno.

Para ello intenté realizar la siguiente demostración.

supongamos que [texx]f(A\cap{B}) = f(A)\cap{(B)}[/texx], [texx]\forall{A, B }[/texx] subconjuntos de [texx]M[/texx]. Probemos que [texx]f[/texx] es uno a uno, es decir:

si x, y son elementos de [texx]M[/texx] tales que [texx]f(x) = f(y)[/texx] entonces [texx]x = y[/texx].

Sabemos que la imagen de un conjunto esta definido de las siguiente manera:
[texx]f(x) = {y\in{T}: y = f(x), \text{ para algún } x\in{X}[/texx], donde [texx]f: (S,d_s) \longrightarrow{(T,d_T)}[/texx] y además [texx]X\subseteq{S}[/texx], [texx]Y\subseteq{T}[/texx].


sea [texx]z = f(x) [/texx] para algún [texx]x \in{M}[/texx].
Luego, tenemos que [texx]z\in{A}[/texx]

similarmente, [texx]z = f(y)[/texx] para algún [texx]y\in{M}[/texx].
Así, [texx]z\in{f(B)}[/texx].

Esto quiere decir que [texx]z\in{f(A)\cap{f(B)}}[/texx].
Luego, por hipótesis se tiene que [texx]z\in{f(A\cap{B}})[/texx].

En este caso, no se como concluir que [texx]x = y[/texx] para concluir que la función sea inyectiva.
 
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #1 : 05/05/2013, 12:10:58 am »

A veces la inspiración para hacer una demostración viene al tratar de encontrar un contrajemplo (y con suerte encontramos un contraejemplo que pruebe que la proposición no es cierta)
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Tanius
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« Respuesta #2 : 05/05/2013, 12:51:23 am »

Supongo que quisiste escribir [texx]f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)[/texx].

Pïsta: si te dicen que eso vale para cualesquiera [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] subconjuntos del dominio, tómalos de manera que te convenga.
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luis
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« Respuesta #3 : 05/05/2013, 01:42:05 am »

creo que la propiedad que quieres probar no vale. al menos, así me parece si pienso que f es una función constante.

saludos

luis
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« Respuesta #4 : 05/05/2013, 01:49:43 am »

creo que la propiedad que quieres probar no vale. al menos, así me parece si pienso que f es una función constante.

saludos

luis

Una función constante no tiene esa propiedad. Por ejemplo, si [texx]f(x)=y[/texx] para cada [texx]x\in{M}[/texx] y [texx]M[/texx] es un conjunto con más de un elemento, dado [texx]m\in{M}[/texx] fijo, nota que [texx]f(\left\{{m}\right\}\cap{ M\setminus \left\{{m}\right\}})\neq f(\left\{{m}\right\})\cap f(M\setminus\left\{{m}\right\})[/texx]
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« Respuesta #5 : 05/05/2013, 10:54:46 am »

no me doy cuenta...

[texx]f(\left\{{m}\right\}\cap{ M\setminus \left\{{m}\right\}}) = y[/texx]

[texx]f(\left\{{m}\right\}) = y[/texx]
[texx]f(M\setminus\left\{{m}\right\}) = y[/texx]

Luego,
[texx]f(\left\{{m}\right\})\cap f(M\setminus\left\{{m}\right\}) = y[/texx]

¿dónde le erro?
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« Respuesta #6 : 05/05/2013, 12:13:27 pm »

[texx]\left\{{m}\right\}\cap{M\setminus \left\{{m}\right\}}=\emptyset[/texx]
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« Respuesta #7 : 05/05/2013, 12:40:56 pm »

aún no veo el problema;

[texx]\left\{{m}\right\}\cap{M\setminus \left\{{m}\right\}}=\emptyset[/texx]

y

[texx]f (\emptyset) = y[/texx]

saludos

luis

ps. tal vez lo que me dices es que una función constante arbitraria no sirve. pero me parece que tomar [texx]y = \emptyset[/texx] bastaría para problematizar la propuesta inicial de ejercicio.

saludos de vuelta
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« Respuesta #8 : 05/05/2013, 12:48:23 pm »

Es que [texx]f(\emptyset)[/texx] son los [texx]z\in{N}[/texx] tales que existe [texx]x\in{\emptyset}[/texx] con [texx]f(x)=z[/texx].
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« Respuesta #9 : 05/05/2013, 01:06:33 pm »

estoy perdido...

entendí que la pregunta era la siguiente:

sea [texx]f: M\to N[/texx], una aplicación o función. Demuestre que:

[texx]f(A\cap{B}) = f(A)\cap{f(B)}] , [\forall{A, B }][/texx] subconjuntos de [M] implica [f] es uno a uno.

lo que creo es que esa afirmación es falsa. como contraejemplo, considero la función constante que
a cualquier elemento de [M] devuelve [\emptyset]. (asumo que [N] es un conjunto de conjuntos, ya que sino
carece de sentido [f(A)\cap{f(B)}]). Si [M] tiene más de dos elementos, esa [f] no es uno a uno; sin embargo,
cumple la igualdad pedida.

saludos

luis
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« Respuesta #10 : 05/05/2013, 01:47:33 pm »

Ya te lo he mostrado:

[texx]\emptyset= f(\left\{{m}\right\}\cap M\setminus\left\{{m}\right\})\neq f(\left\{{m}\right\})\cap f(M\setminus \left\{{m}\right\}) = \left\{{y}\right\}[/texx]

Luego [texx]f[/texx] no cumple la condición requerida.
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« Respuesta #11 : 05/05/2013, 11:44:57 pm »

ok. llegué. el origen de mi error residía en que no me percaté que estaban sobrecargando la función f. perdón por el ruido.

luis
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