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Autor Tema: Sobre un conjunto cerrado en l^2.  (Leído 602 veces)
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lindtaylor
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« : 01/05/2013, 03:32:00 pm »

Ej: Sea [texx]A=\left\{x\in l^2: |x_n|\leq\frac{1}{n}, \forall n\in\mathbb{N}\right\},[/texx] pruebe que [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]l^2=\left{x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}:||x||_2=\sum_{i=1}^{\infty}|x(i)|^2<\infty\right\}[/texx].

Hasta ahora tengo que dado [texx](x_n)[/texx] secuencia en [texx]A[/texx] convergiendo a un [texx]x\in l^2[/texx], entonces [texx]\lim_{n\to\infty}x_n=x[/texx]. Ahora por def. [texx]\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}\forall n>N\ ||x-x_n||_2<\epsilon[/texx] equivalente a [texx]\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}\forall n>N\ \sum_{i=1}^\infty|x(i)-x_n(i)|^2<\epsilon[/texx].

Ahora cómo puedo ver que [texx]|x(i)|\leq \frac{1}{i}[/texx] para todo [texx]i[/texx]? es decir, que [texx]x\in A[/texx]. ?

Desde ya gracias.
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héctor manuel
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« Respuesta #1 : 02/05/2013, 02:28:10 am »

Un camino:
Sea [texx]A_n=\{X\in\ell^2:|x_n|\le\frac{1}{n}\}[/texx].

Entonces [texx]A=\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty A_n[/texx]. Si cada [texx]A_n[/texx] es cerrado, entonces [texx]A[/texx] es cerrado (la intersección arbitraria de cerrados es cerrada).

Definamos [texx]f_n:\ell^2\to\mathbb{R}[/texx] dada por [texx]f_n(X)=|x_n|[/texx].

a)Muestra que [texx]f_n[/texx] es continua.

b)Muestra que [texx]A_n=f^{-1}_n([0,\frac{1}{n}])[/texx].

Saludos.

PD: Claramente [texx]f_n[/texx] no es lineal, lo cual puede provocar algo de trabajo extra. Para volverla lineal, redefínela quitando el valor absoluto: [texx]f_n(X)=x_n[/texx]. Luego, deberás hacer una ligera modificación al punto (b) (cada [texx]A_n[/texx] será la preimagen bajo la función [texx]f_n[/texx] del conjunto [texx][-\frac{1}{n},\frac{1}{n}][/texx]).

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