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Autor Tema: Sobre conjunto de matrices complejas separable.  (Leído 796 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
lindtaylor
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« : 01/05/2013, 02:02:38 pm »

Holas, en el conjunto [texx]M_n(\mathbb{C})[/texx] de matrices cuadradas de orden [texx]n[/texx]  con entradas en los complejos, con la norma [texx]||A||=\sum_i\sum_j|a_{ij}|[/texx], que denso me sirve para ver que [texx]M_n(\mathbb{C})[/texx] es separable?

Desde ya gracias.
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héctor manuel
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« Respuesta #1 : 02/05/2013, 01:44:05 am »

Como [texx]M_n(\mathbb{C})[/texx] es de dimensión finita, entonces los conceptos topológicos son independientes de la norma. En particular, de ser separable con alguna norma, entonces es separable con cualquiera, de modo que podemos despreocuparnos por la norma.

Además, el resultado que pides es más general: si [texx](V,\|\cdot\|)[/texx] es un espacio normado de dimensión finita, entonces es separable.

Intenta probar este resultado. Es bastante sencillo. Como corolario obtendrás lo que pides.

Saludos.
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 02/05/2013, 03:02:16 am »

El caso general es por esto?

Sea la base [texx]B=\left\{v_1,\ldots, v_n\right\}[/texx], entonces el denso es [texx]D=\left\{\sum_i\alpha_iv_i:\alpha_i\in K, v_i\in B\right\}\subseteq V[/texx], luego dado cualquier [texx]v\in V, ||v-\sum_i\alpha_iv_i||=0<\epsilon[/texx]. Por tanto [texx]D[/texx] es denso y numerable en [texx]V[/texx].
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héctor manuel
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« Respuesta #3 : 02/05/2013, 12:35:25 pm »

Es casi correcto, ya que no puedes asegurar la numerabilidad. De hecho, en esas condiciones, [texx]D=V[/texx]. Lo que sucede es que estás tomando a [texx]\alpha_i\in K[/texx], y [texx]K[/texx] no es numerable.

Si [texx]K=\mathbb{R}[/texx], toma las [texx]\alpha_i[/texx] en [texx]\mathbb{Q}[/texx]. Si [texx]K=\mathbb{C}[/texx], dónde tomarías las [texx]\alpha_i[/texx]?

Saludos.
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lindtaylor
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« Respuesta #4 : 02/05/2013, 07:15:07 pm »

Entonces si [texx]K=\mathbb{R}[/texx], tomo el denso como [texx]D=\left\{\sum_i\alpha_iv_i:\alpha_i\in \mathbb{Q}, v_i\in B\right\}[/texx] y si [texx]K=\mathbb{C}[/texx] tomo el denso [texx]D=\left\{\sum_i\alpha_iv_i:\alpha_i\in a+bj:a,b\in\mathbb{Q}\right\}[/texx] cierto?
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