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Autor Tema: Definición de potencias: Producto acumulativo.  (Leído 721 veces)
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ferman
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ferman
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« : 21/04/2013, 07:33:21 am »

Perdonarme por mis “come-cocos”, pero al salir en otro grupo (inglés) el concepto de potencia y sus definiciones, y al haber expuesto mis puntos de vista en el mismo, pues lo expongo aquí también por si a alguien le interesa o quiere “entrar al trapo”.

Por ahí tienen poco claro la de definición de potencia, por ejemplo cuando  se dice que:
Es el producto de (a) por sí mismo 3 veces.
En realidad se está diciendo que es igual a:   a.a, a.a, a.a  y en realidad eso no significa nada.
---
Para ello, y antes de definir lo que es una potencia se puede intentar encontrar la definición de lo que es un “producto repetitivo”.
---- Producto repetitivo será una serie (n) de productos acumulativos* de una misma cantidad (a).----
En la cual (a) es la cantidad que se multiplica y (n) el grado o serie de veces que (a) intervienen en la multiplicación.
-----
Después de esto podemos decir que es un producto repetitivo de (a) en grado 3, o a lo largo de un producto en serie en la que (a) interviene 3 veces.

* Producto acumulativo es aquel que se lleva a cabo sobre el resultado de un producto anterior.

A lo mejor es peor el remedio que la enfermedad, pero para eso estamos, para discutir.
Gracias.


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« Respuesta #1 : 21/04/2013, 08:14:16 am »

Perdonarme por mis “come-cocos”, pero al salir en otro grupo (inglés) el concepto de potencia y sus definiciones, y al haber expuesto mis puntos de vista en el mismo, pues lo expongo aquí también por si a alguien le interesa o quiere “entrar al trapo”.



Hola, Ferman. Es importante, antes, definir la unidad (ya sé que soy pesadísimo con lo de la unidad, pero es mi obsesión).

Así, si existe una unidad “u” tal que  siendo “a” la suma repetida de una cantidad entera de “u”, tendremos

 .

Es importantísimo que exista esa “u” y que ocurra y a la vez también



de tal forma que

 

Cuando la unidad no se considera el mínimo, esto de las "veces" ya no funciona y se convierte en algo confuso.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 21/04/2013, 09:07:08 am »

Una cosa más, creo que te has despistado o no entiendo lo que has querido poner;

Tenemos tres veces, no seis.

 Otra cosa importante al hilo de lo que he dicho en el comentario anterior; ¿cómo definir el conjunto que admite esa idea de la forma más corta posible, justo con lo imprescindible?

 Basta decir que en el conjunto con el que trabajamos debe haber un mínimo, en valor absoluto, que sea neutro y que, por otra parte, la operación suma (suma y diferencia, se entiende) entre dos o más elementos del conjunto tiene que dar como resultado un elemento perteneciente al conjunto (esto último se llama propiedad de clausura).

 De esta manera, si existieran dos elementos cualesquiera tales que ó
y siendo “u” el mínimo, violaría las reglas que hemos puesto; pues “u” no sería el mínimo.

Este conjunto sería el de los enteros y para definir el de los naturales bastaría añadir la condición

  único

Saludo
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« Respuesta #3 : 21/04/2013, 11:16:25 am »


Por ahí tienen poco claro la de definición de potencia, por ejemplo cuando  se dice que:
Es el producto de (a) por sí mismo 3 veces.
En realidad se está diciendo que es igual a:   a.a, a.a, a.a  y en realidad eso no significa nada.

No entiendo cuál es el dilema.

Me parece a mí que estás planteando un falso dilema, o un error que no existe.

Cuando alguien explica qué es , dice esto:

"La potencia se define como , es decir que es el producto de consigo mismo 3 veces".

La última frase, que puse en azul, no forma parte de la definición matemática, es sólo una muletilla, o un agregado que sirva a modo de "ayuda-memoria".
Y el significado de "producto consigo mismo 3 veces" no es algo que deba buscarse en el diccionario, sino que se deduce del contexto en el que se está usando la frase.

En el contexto anterior, la definición de la potencia cúbica es , que es una fórmula matemática que no tiene ninguna ambigüedad.
La definición es exacta, clara y operacional.
No hay nada que discutir.

Si a esa definición (la fórmula), alguien le agrega esa especie de paráfrasis: "el producto de a consigo mismo 3 veces", es sólo eso: se puso  a intentar parafrasear la fórmula.
Pero decir algo así no se considera una "definición matemática".

Distinto es que hayas oído eso, y hayas entendido que esa era la definición de potencia cúbica.
Pues no lo es. Así que, o te lo explicaron mal, o lo entendiste mal.


Cuando alguien parafrasea, lo que hace es explicar las cosas de otro modo, por razones pedagógicas,
y no porque esté definiendo así el concepto.

Ponerse a discutir algo así pone de manifiesto que no te es posible distinguir entre la matemática formal, y los agregados o comentarios accidentales que la gente agrega, con el sólo fin de hacer más amena una exposición.

En cuanto a la supuesta definición donde se repite veces,
eso tampoco es una definición matemática correcta, porque la palabra "veces" no es parte del formalismo matemático.
Sólo pueden aparecer fórmulas basadas en axiomas, o definiciones de términos que sean directamente reemplazos de fórmulas horribles.

La supuesta fórmula parece arreglar el asunto, pero eso también es incorrecto porque la llave que aparece ahí no es parte del lenguaje formal de la matemática.

El único modo de definir formalmente y correctamente la potencia es con fórmulas de recurrencia, dado que hay un Teorema de Recurrencia que asegura previamente que esas definiciones son correctas. Sería así:



De hecho, eso tampoco es formalmente correcto, pero es directamente traducible a una forma exacta.
El modo exacto sería definir la colección de todas las funciones de recurrencia que satisfacen las igualdades anteriores, y luego definir la potencia como aquella función que es la "intersección" de todas ellas.
Por el Teorema de Definición por Recurrencia, el resultado de esta operación es una función bien definida:

Familia de funciones que cumplen la regla de recurrencia:



Definición de la función potencia como intersección de la familia anterior:



Finalmente introducción (sin importancia), de la notación clásica de potencia:

(para todo n natural).



Y si te gusta todo escrito en una sola fórmula:

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« Respuesta #4 : 21/04/2013, 01:31:18 pm »


Por ahí tienen poco claro la de definición de potencia, por ejemplo cuando  se dice que:
Es el producto de (a) por sí mismo 3 veces.
En realidad se está diciendo que es igual a:   a.a, a.a, a.a  y en realidad eso no significa nada.

Ahh, ya te entendí, qué lento he estado  :risa:  :risa:

Bueno, pero por qué dices que se está diciendo eso y no esto



por ejemplo.


Los problemas que puede producir esto, ahora que ya sé bien a qué te refieres —y para que quede clara la cosa con un ejemplo con números— no está en si decimos “veces” o “producto repetido” o cualquier lo que sea, sino en el tipo de números que usemos.

 Así, por ejemplo, con números naturales, podemos tener

 



etc.

 A partir de ahí podemos seguir haciendo







Todo muy bonito, racional y natural.

 Esto lo podemos hacer con números naturales porque lo que lamamos “veces” no es más que la suma repetida de un número que podemos tomar como unidad de comparación.

Naturalmente (y nunca mejor dicho esto de naturalmente) de forma gráfica, también podemos decir “veces” cuando el producto de ese mismo número no es un natural; puede ser irracional o lo que sea, pero lo escribimos repetido según una cantidad que viene dada por un número natural.

 Ahora bien, si son irracionales, por ejemplo, en ese caso no podremos hacer siempre lo que hemos hecho arriba, no hay una unidad para hacer eso y por tanto no hay “veces” que valgan y ni siquiera repeticiones de nada —nada más que de símbolos escritos—, el resultado de esas potencias será  algo un tanto abstracto, no “cuantificable”. 



Saludos.
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« Respuesta #5 : 22/04/2013, 07:47:22 am »

Argentinator, Feriva
Nos es que lo haya escuchado, sino que existen largas y profundas discusiones en otros grupos sobre el asunto, donde incluso se ofrecen premios o compensaciones a quien demuestre que una potencia a^3 es:
“Multiply (a) to itself three times”.
Por tanto, aparte de su exposición matemática en fórmulas, la definición de potencia existe o debería existir, y dicha definición debería ser clara y concreta y no un simple comentario complementario.
Si comentamos o definimos a^3 “es multiplicar a tres veces por sí misma”, esto sería a.a, (primera vez) luego a.a. (segunda vez) y luego a.a (tercera vez) y esto no nos dice nada.
Es decir, un comentario que no nos defina nada concreto no es nada a tener en cuenta.
El problema o la pregunta es ¿Se puede dar una definición clara y correcta de lo que es una potencia?
Y si es así ¿Cuál es?
-----
Por esta razón intenté comenzar a estudiar una, comenzando por proponer ciertos conceptos primeramente,
Y que serían:
---Producto acumulado: Será el producto aplicado al resultado de un producto anterior.
Por ejemplo, dado 3x5x6  donde primeramente hacemos el producto 3x5 = 15 y luego hacemos el producto 15x6 = 90.
---Serie de productos acumulados: Será cuando multiplicamos todos los miembros (a, b, c, etc.) de un conjunto (sucesión o serie) de números en la forma ordenada en que se encuentran.
En las series la cantidad total de miembros a multiplicar se definirá como grado (n) de la serie.
---Serie potencial: Será cuando todos los miembros de la serie de productos acumulados sean iguales.
En la serie potencial, los términos primero y segundo se considerarán también como productos acumulados.
Según esto podemos definir a la potencia como:
    Potencia: producto acumulado de una serie potencial de base (a) y grado (n).

Un auténtico follón o comecocos, pues sí.
Saludos.
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« Respuesta #6 : 22/04/2013, 09:35:29 am »

Argentinator, Feriva
Nos es que lo haya escuchado, sino que existen largas y profundas discusiones en otros grupos sobre el asunto, donde incluso se ofrecen premios o compensaciones a quien demuestre que una potencia a^3 es:
“Multiply (a) to itself three times”.



Hola, Ferman. Eso no se puede demostrar en general, es imposible, sólo para cierto tipo de números.

 Definiciones se pueden dar varias, pero las definiciones siempre dependen de otras anteriores a no ser que estemos hablando de axiomas básicos o primarios. En cuanto a las potencias, hay que decir antes a qué nos referimos, porque un cosa es el símbolo que se escribe un número de veces y otra el valor que se le puede dar, si lo tiene, al símbolo.
 Me parece bien esa idea del producto acumulativo, pero sólo será generalizable en cuanto al símbolo, no en cuanto al valor; porque a veces los números no tienen valor definido, no son naturales, ni enteros ni racionales, por tanto, no se les puede asignar un número de repeticiones o veces.

 En el caso de un número natural sí se puede hacer eso, como te decía:

el triple de 3.

el triple del triple de tres

el triple del triple del triple de tres.

Pero tomemos raíz cuadrada de 2, que es un número que no se acaba de escribir nunca porque tiene infinitos decimales en los que, además, siempre existe alguna sorpresa, no podemos predecir un periodo el cual, a partir de la cifra que sea, se repita ya para siempre en lo sucesivo.

  la proporción “?” de la raíz cuadrada de 2

Sabemos que eso da 2 como resultado, pero ¿qué parte proporcional es raíz cuadrada, es el doble, el cuádruple? No.

La raíz cuadrada de un número “a” se escribe también como la potencia “un medio” de ese número:



Si interpretamos eso con la idea de proporción o repetición de algo... no hay veces, hay “medias veces”, quizá querría decir “la media vez “a” de “a” o “la media vez a de la media vez a”... no sé, es abstracto, no hay palabras ni una idea clara para interpretar eso como algo relacionado con la proporción de algo.

Ahora bien, si nos referimos al número de veces que se repite el símbolo en la expresión del producto



evidentemente se repite dos veces y, en este caso particular, hasta tiene resultado exacto, 2; sin embargo, la acción operativa para llegar a la solución es totalmente abstracta.

 Luego debes definir previamente, debes decir que la definición que propones tiene que estar restringida a los números naturales o a números que se puedan referir a una unidad determinada, que se puedan transformar en naturales mediante la búsqueda de una unidad que haga de “vez”; pues ya ves que eso no existe para todos los números, no siempre existe la “vez” y, por tanto, cuando eso ocurre tampoco existen otros conceptos como los de cantidad, repetición, etc.

 Los seres humanos manejamos cosas que nunca entenderemos, por muchos siglos que pasen y por mucho que avance la tecnología; porque, si se entendieran, serían otra cosas distintas, casi las define su propia abstracción. Sin embargo, es humano intentar lo imposible, nos vemos impulsados a descubrirlo todo; muchos hombres, incluso siendo matemáticos, han intentado meter el infinito en un tarro de cristal; quizá se pueda hacer  con algún tipo de infinito, pero ¿qué condiciones requeriría eso fuera de lo puramente abstruso? Me temo que tendría que ser un frasco expansivo, un frasco cuya unidad de medida se hiciera cada vez más pequeña respecto del tamaño del frasco porque, si no, ni en broma va a caber el infinito dentro de algo estacionario, dentro de algo con una unidad invariante.
 Nuestra intuición nos dice que podemos contar 1,2,3,4... y que por mucho que contemos no tiene por qué cambiar el valor proporcional de 1 respecto del resto de los números; pero yo me pregunto: ¿se puede demostrar tal aserto o es sólo un peligroso “axioma” asumido por todos? Ocurre, desde luego, que no se puede demostrar lo contrario, si caminando damos mil pasos, un millón de pasos, los que sean, siempre tenemos una cantidad de pasos referida al “paso” como “número de veces que movemos las piernas”, como unidad. No obstante, quedan muchos pasos por dar y no se pueden dar todos —es imposible— para demostrar que siempre podremos encontrar esa relación.

 Por eso, la definición no puede venir dada con palabras humanamente comprensibles para todos los números reales.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 24/04/2013, 06:28:42 am »

Feriva.
Cuando escribimos decimos que ello es una potencia, pero realmente no lo es, sino una raíz escrita como exponente.
Así si ponemos lo que realmente estamos poniendo es .
-----
En un trabajo que estoy haciendo y que si da resultado lo pondré en mi web, cuando se nos da el caso de raíces, por ejemplo , se puede explica diciendo: 
Una raíz consiste en encontrar la base (a) de una serie potencial de resultado 81 (y) y grado 4 (n).
Y que tal serie potencial sería 3.3.3.3 = 81, siendo 3 la base y 4 el grado o exponente, es decir
--------
Por otro lado y como verás, con la consideración de producto acumulado no existe la referencia de “veces” que se ha que multiplicar, sino número de términos de una serie a multiplicar.
Y si fueran raíces, se debe encontrar la base.
Y si fueran raíces y potencias a la vez (3/4), pues tal como se hace en la actualidad, se efectúan la potencias y se procede después a hacer las raíces.
Saludos.
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« Respuesta #8 : 24/04/2013, 08:19:04 am »

Feriva.

En un trabajo que estoy haciendo y que si da resultado lo pondré en mi web, cuando se nos da el caso de raíces, por ejemplo , se puede explica diciendo: 
Una raíz consiste en encontrar la base (a) de una serie potencial de resultado 81 (y) y grado 4 (n).
Y que tal serie potencial sería 3.3.3.3 = 81, siendo 3 la base y 4 el grado o exponente, es decir


Hola, Ferman, no existe base ninguna para los números irracionales. Fíjate en esta clásica demostración:

Tomemos raíz de dos e igualemos este número a una fracción en la que los números de arriba y abajo son enteros o naturales:



elevando al cuadrado en ambos lados



despejando



es par, pues es igual al doble de

El cuadrado de un número natural que da par implica también que ese número es par, es decir, “a” tiene que ser por fuerza par; esto es obvio, si es par, alguno de los números “x” ó “y” tiene que ser 2 ó múltiplo de 2 (esto es, un compuesto de 2 por otro número) entonces si  , pues “a”, forzosamente, es par.

 Entonces, si “a” es un número natural y es par se puede escribir como , donde “c” ha de ser un número natural; si fuera racional no natural, el 1 dejaría de ser el 1, como luego veremos.

 Así pues, tendremos que



Como teníamos que , si sustituimos tenemos



Ahora, si dividimos entre 2 a los dos lados, la igualdad sigue siendo cierta



y al ser el doble de un número natural, ocurre que es par; y, por lo mismo que he dicho antes al explicar lo de “x” por “y”, “b” tiene también que ser par.

 Luego tendríamos que en la fracción podemos dividir entre 2 arriba y abajo, reduciéndola a otra fracción de números naturales; luego ha de existir la igualdad



donde “e” y “f” son números enteros. Luego podemos volver a escribir



Si ahora repites el proceso tal y como hemos hecho hasta aquí —elevando al cuadrado, despejando y tal— verás que llegas a que “e” tiene que ser par y “f” tiene que ser par, luego se podrá repetir todo otra vez con una fracción , y después encontrarás que también “g” y “h” son pares... no acaba nunca, siempre encontraremos otra fracción distinta, y otra y otra, y todas de números enteros en numerador y denominador.

 Pero algo cambia, que como los números de cada pareja son los anteriores divididos entre dos, son cada vez más pequeños.

 Esto nos lleva a concluir que los números iniciales que habíamos tomado al principio de esa cadena, “a” y”b”, tienen que ser infinitamente grandes comparados con la unidad para poder ser enteros (es un proceso “móvil” no estático, fíjate) por lo que no puede haber una base, ya que una base tiene que estar referida a una unidad que se esté “quieta”.  Así, nosotros trabajamos en base 10, que es diez veces 1 e implica que utilizamos 10 símbolos (del 0 al nueve) y podemos trabajar también, por ejemplo, en base binaria, que implica que usamos el 0 y el 1, dos símbolos... Pero ¿cuántos símbolos tendríamos que usar para estos números cuya unidad no se está quieta y cada vez necesita ser más pequeña? Necesitaríamos una base de infinitos símbolos, una base móvil, no estática. 

Saludos.
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« Respuesta #9 : 24/04/2013, 09:43:15 am »

Puedo poner un ejemplo con el cual ya queda completamente claro:

 Supón que existe una unidad tan pequeña como quieras y que de ahí no se puede pasar, llamémosla “u=1”.

Ahora podemos tener la fracción , y existe “2u” porque es mayor que “u”. Sin embargo, esa fracción es la misma que si dividimos entre dos arriba y abajo; y queda



Perfecto, nada ha cambiado y no aparece ningún número menor que “u”. Sin embargo, volvamos a dividir entre dos arriba y abajo:



Ciertamente, operando eso parece correcto, pero si “u=1”, la unidad, resulta que aparece un número menor que ella, el cual no existe por hipótesis; luego la hipótesis es falsa, “u” no es la unidad más pequeña.

A los números irracionales, como raíz de dos y muchas otras raíces, les pasa esto: no existe la posibilidad de encontrar una unidad, por lo que no puede existir ni siquiera una cantidad de símbolos concretos para representarlos como un producto, eso de no es más que un símbolo para expresar lo que uno nunca llegará a entender con una mentalidad “estacionaria” —que es como se  llama al Universo que no se expande, tal y como lo concebían los antiguos— el símbolo de raíz no quiere decir nada, no define nada.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 25/04/2013, 06:00:56 am »

Como os dije, he puesto en mi web un trabajo muy simplificado sobre conceptos referidos a las potencias.
Si alguno está interesado le pongo abajo el link.
En cualquier caso la definición que pongo de potencia es muy simple. Otra cosa es que sea correcta o no, y que os guste o no.
Y sería:
“Potencias son los productos acumulados de series cuyos términos son todos iguales”.
Gracias a todos.

http://fermancebo.com/producto_acumulado_potencias.html
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« Respuesta #11 : 25/04/2013, 08:45:13 am »

Otra cosa es que sea correcta o no, y que os guste o no.




Hola, Ferman. Puede ser correcta y no se trata de gustos, pero es sólo poner nombres; y cosas así ya existen; tienes, por ejemplo, la definición de multiplicatoria o productorio, como puedes ver aquí:

 https://es.wikipedia.org/wiki/Productorio

La cuestión, una vez más, es que en el caso de los números naturales, y enteros y racionales, todo se ve con claridad, no nos cuesta definir porque podemos parar en una cantidad concreta de factores y, siendo así, existen las veces, las repeticiones, la acumulación y todos los adverbios de cantidad que uno quiera.

 El problema es cuando desaparece el concepto de cantidad; no sólo con las potencias, con cualquier cosa. Porque puede desaparecer el concepto de “tamaño” sin que pase nada demasiado grave; no importa que un número sea todo lo pequeño que uno quiera siempre y cuando se pueda subdividir a su vez en 10 partes, o en las que sea, y provenga a su vez de algo más grande que también se puede subdividir en ese mismo número de partes; pero ese número de partes tiene que ser una cantidad concreta y no siempre es posible que lo sea.

 Al tener eso que digo, tenemos una divisibilidad —hay que hablar de la divisibilidad un poco, ya que este hilo está en la sección “Teoría de números”— una divisibilidad concreta para cualquier unidad que tomemos; podemos convertir, podemos “correr la coma”.

 En matemáticas hay algunos teoremas tan importantes que se les llama “fundamentales”, y uno de ellos es el Teorema fundamental de la aritmética. Dice que todo número natural se puede descomponer en producto de primos y que, además, esta descomposición es única para cada número natural, identifica a todos. Así, por ejemplo, sólo hay un número que sea el producto del primer primo por sí mismo;  es el cuatro

Con cualquiera de los ejemplos que has puesto en tu página se puede hacer esta identificación; pones, por caso, este ejemplo:

 

 Ese número, noventa, es el producto del primer primo, por el segundo, por otra vez el segundo y por el tercero:

.

 Su descomposición en primos es única y eso es importante; porque si tomamos compuestos no pasa lo mismo, se puede descomponer de varias formas, por ejemplo , ...

 Luego para cualquier análisis es especialmente transcendente el producto acumulado, que llamas, de  primos; porque concreta el asunto debido a que los primos no se pueden partir; si se parte, aparece un número menor que el 1, menor que la “vez” o la “repetición”.

 Después, se demuestra fácilmente que hay una “cantidad” infinita de primos y esto es un problema; porque entonces se pierde el concepto de cantidad y, como los primos son los que nos dicen “las veces básicas”, o repeticiones o acumulaciones, del número que sea, si un número se descompone en infinitos primos ya no sabemos cuántas veces se repite ningún primo y no puede existir ni base numérica ni base de potencias; es decir:

 Aquí podemos decir que se repiten o se acumulan diez neves en el producto, o bien seis quinces, o dos cuarentaicincos... y así hasta que acabemos con todas las combinaciones posibles de los primos; que en este caso se pueden determinar las que hay porque tenemos una cantidad finita de primos, una cantidad concreta (no hay más).

Entonces, no tiene nada de malo, si hablamos de estos números concretos, decir “veces”, no hay por qué huir de eso; sólo cuando se trate de números sin cantidad definida, en cuyo caso hay que huir no sólo de las “veces” sino de todo lo que tenga que ver con los adverbios de cantidad y también de lo que tenga que ver con lo numerable; o con lo que se puede contar, dicho de otra manera.

Saludos.     
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