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Autor Tema: Límite de una sucesión  (Leído 1039 veces)
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marsi
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« : 18/04/2013, 10:46:36 am »

Hola a todos, tengo el siguiente problema que no e podido demostrar y no se como hacerlo ojalá puedan ayudarme :¿eh?:
 Sea [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx] tal que [texx]0<b<1[/texx]. Demostrar que [texx]\displaystyle\lim_{n \to\infty}{(nb^n)=0}[/texx]. (Sugerencia : Usar el teorema del binomio).
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Capitan Trueno
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« Respuesta #1 : 18/04/2013, 11:54:24 am »

Si:

[texx]a_n=nb^n[/texx]

entonces:

[texx]\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\displaystyle\frac{n+1}{n}b[/texx]

que para un [texx]n[/texx] suficientemente grande es menor que 1, lo que nos dice que la sucesión es decreciente a partir de un cierto [texx]n[/texx]. Como aperitivo vale, luego si hace falta sigo, ahora me voy a echar un rato la siesta.

Salu2
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« Respuesta #2 : 18/04/2013, 11:54:39 am »

Si  [texx]a_n=nb^n[/texx]

entonces:


[texx]\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\displaystyle\frac{n+1}{n}\ b<1[/texx]


que para un [texx]n[/texx] suficientemente grande es menor que 1, lo que nos dice que la sucesión es decreciente a partir de un cierto [texx]n[/texx]. Como aperitivo vale, luego si hace falta sigo, ahora me voy a echar un rato la siesta.

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« Respuesta #3 : 18/04/2013, 03:33:11 pm »

Bastaría demostrar que si [texx]a=b^n[/texx] entonces:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}b^{nb^n}=\displaystyle\lim_{a \to 0}a^a=1[/texx]

pero este último es un límite conocido cuya demostración está en los libros.

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héctor manuel
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« Respuesta #4 : 18/04/2013, 03:51:45 pm »

Otra forma: [texx]1+b+b^2+b^3+\cdots=\displaystyle\frac{1}{1-b}[/texx]. Derivando la igualdad anterior y multiplicando el resultado por [texx]b[/texx], se tiene que la serie [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nb^n[/texx] es convergente. Por tanto el límite de la sucesión es 0.

Saludos.
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Tanius
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« Respuesta #5 : 18/04/2013, 09:45:06 pm »

Existe [texx]p>0[/texx] tal que [texx]\dfrac 1b = 1+p[/texx], por tanto [texx]\left(\dfrac 1b\right)^n = (1+p)^n[/texx] para toda [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx].

Por el teorema del binomio [texx](1+p)^n=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}p^i\geq \binom{n}{2}p^2=\dfrac{n(n-1)}{2}p^2[/texx] para toda [texx]n\ge 2[/texx].

Concluimos que [texx]nb^n\le \dfrac{2}{(n-1)p^2}[/texx].
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