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Autor Tema: Sobre una proposición en la recta.  (Leído 1337 veces)
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lindtaylor
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« : 11/04/2013, 04:08:48 pm »

Está correcta la siguiente afirmación y demostración?

Afirmación: [texx](\forall x\in\mathbb{R})(0<x<1)\forall n\in\mathbb{N} x\not=\frac{1}{n}\Rightarrow(\exists p\in\mathbb{N}: \frac{1}{p}<x<\frac{1}{p-1})[/texx].

Dem: Si no, entonces [texx]\forall p\in\mathbb{N}, x\leq \frac{1}{p}\vee x\geq\frac{1}{p-1}[/texx].

Caso [texx]x<\frac{1}{p}:[/texx] Como es para todo [texx]x[/texx] tal que [texx]0<x<1[/texx], si escogemos [texx]x=1/2[/texx] se tiene que [texx]\forall p\in\mathbb{N}, p\leq 2[/texx], contradicción.

Caso [texx]x>\frac{1}{p-1}:[/texx] Se tiene que [texx]p>\frac{1}{x}+1[/texx], luego como es para todo [texx]p[/texx] natural, si [texx]p=1[/texx] se tiene que [texx]1>\frac{1}{x}+1[/texx] contradicción, pues [texx]x>0 [/texx] luego [texx]0<\frac{1}{x}[/texx], luego [texx]1<\frac{1}{x}+1[/texx].

Es correcto?
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numbsoul
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« Respuesta #1 : 11/04/2013, 05:25:15 pm »

O más fácil:existe [texx]n[/texx] tal que [texx]\dfrac{1}{n}<x[/texx] (en virtud de la arquimedianeidad).De manera que el conjunto [texx]A=\{n\in\mathbb{N}:\dfrac{1}{n}<x\}[/texx] es no vacío,y por ende,tiene un primer elemento [texx]p[/texx].Se tiene [texx]x<\dfrac{1}{p-1}[/texx]. (de lo contrario,[texx]p[/texx] no sería el mínimo de [texx]A[/texx])

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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 11/04/2013, 05:52:05 pm »

Gracias, entonces son válidas las dos.
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numbsoul
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« Respuesta #3 : 11/04/2013, 06:15:34 pm »

Creo que no entendí la demostración que has escrito.
En primer lugar,supones por el absurdo,que para todo [texx]p\in\mathbb{N}[/texx] mayor a [texx]1[/texx],se tiene que [texx]x\leq \dfrac{1}{p}[/texx] o [texx]x\geq \dfrac{1}{p-1}[/texx] (recuerda que [texx]x[/texx] está fijo).Después haces variar el [texx]x[/texx] y ahí creo que está el error.

Lo que puedes inferir de las desigualdades anteriores es que:por la propiedad de la arquimedianeidad,existe [texx]n>1[/texx] tal que [texx]\dfrac{1}{n}<x[/texx],y si tomas el mínimo [texx]p[/texx] de los [texx]n[/texx] que cumplen esto,como la disyunción anterior vale para todo [texx]p[/texx],se tiene que [texx]x>\dfrac{1}{p-1}[/texx],lo cual es absurdo.
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