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Autor Tema: Sobre puntos de acumulación de los racionales en los racionales raíz de 2.  (Leído 950 veces)
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lindtaylor
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« : 08/04/2013, 09:32:37 pm »

Holas, he calculado que los puntos de acumulación de los racionales es toda la recta pues [texx]\mathbb{Q}[/texx] es denso en [texx]\mathbb{R}[/texx], luego dados [texx]x,y[/texx] reales, entonces existe un [texx]z[/texx] racional tal que [texx]x<y<z[/texx], pues los racionales son densos en los reales, y luego cada intervalo [texx]I[/texx] centrado en un número real [texx]x,[/texx] contiene un racional usando la densidad, es decir, [texx](x-r,x+r)=I[/texx], luego [texx]x,x+r[/texx] son reales, luego existe [texx]z[/texx] racional tal que [texx]x<z<x+r,[/texx] luego [texx]z\in I\setminus\left\{x\right\}\cap \mathbb{Q}[/texx], luego [texx]\mathbb{Q}'=\mathbb{R}[/texx].

Ahora con ese mismo espítiru, cómo puedo calcular los puntos de acumulación de [texx]\mathbb{Q}[/texx] en [texx]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx]?
Desde ya gracias.

Me acabo de dar cuenta que es lo mismo al parecer, pues dado [texx]a+b\sqrt{2}[/texx], entonces sea [texx]I[/texx] intervalo centrado en ese punto, luego [texx](a+b\sqrt{2}-r,a+b\sqrt{2}+r)[/texx] contiene un racional tal que [texx]a+b\sqrt{2}<z<a+b\sqrt{2}[/texx] pues [texx]a+b\sqrt{2}[/texx] es un real, luego [texx]z\in I\setminus\left\{a+b\sqrt{2}\right\}\cap \mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx], [texx]z\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx] pues [texx]z=a+0\sqrt{2}[/texx]

Sin embargo, he notado que hay algo mal, pues si pasara lo anterior entonces:

[texx]\mathbb{Q}'=\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx], pero entonces [texx]\mathbb{Q}'=\mathbb{R}=\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx], luego [texx]\pi\in\mathbb{R}[/texx], luego [texx]\pi=a+b\sqrt{2}[/texx], luego [texx]\pi-b\sqrt{2}=a[/texx], luego [texx]a\not\in\mathbb{Q}[/texx]. Qué hago mal?
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 09/04/2013, 11:41:22 am »

El conjunto de los puntos de acumulación de [texx]\mathbb Q[/texx] en [texx]\mathbb Q(\sqrt 2)[/texx] es [texx]\mathbb Q(\sqrt 2)[/texx], y el conjunto de los puntos de acumulación de [texx]\mathbb Q[/texx] en [texx]\mathbb R[/texx] es [texx]\mathbb R[/texx], pero eso no significa que [texx]\mathbb Q(\sqrt 2)=\mathbb R[/texx], porque son dos conjuntos distintos. No hay un único conjunto de puntos de acumulación de [texx]\mathbb Q[/texx], sino un conjunto de puntos de acumulación en cada espacio mayor que consideres.
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 10/04/2013, 02:07:15 am »

Claro, ahora lo veo mejor, pues dado[texx] a+b\sqrt{2}[/texx], entonces dado un intervalo centrado en [texx]a+b\sqrt{2}[/texx] se tiene que [texx]I=(a+b\sqrt{2}-r,a+b\sqrt{2}+r),[/texx] luego como [texx]a+b\sqrt{2},a+b\sqrt{2}+r[/texx] son reales, existe [texx]z\in\mathbb{Q}[/texx] tal que [texx]a+b\sqrt{2}<z<a+b\sqrt{2}+r[/texx], luego existe [texx]z\in I\cap\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx], luego [texx]\mathbb{Q}'=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).[/texx]
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