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Autor Tema: métricas equivalentes.  (Leído 2656 veces)
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aangelo
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« : 05/04/2013, 10:12:05 pm »

Buenas noches.

agradezco inmensamente a las personas que me puedan ayudar con la idea para resolver este ejercicio de métricas equivalentes.

teorema.
dos distancias [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] sobre un conjunto X son equivalentes si existen constantes m y [texx]M[/texx] mayores que cero tales que para todo [texx]x,y\in{X}[/texx] se satisface  [texx]md(x,y)\leq{d^{\prime}(x,y)}\leq{Md(x,y)}[/texx].
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« Respuesta #1 : 05/04/2013, 10:51:03 pm »

Hola aangelo,

 esa es la definición que conozco de métricas equivalentes, ¿cómo las defines tú?.
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aangelo
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« Respuesta #2 : 06/04/2013, 12:31:13 am »

Hola mathtruco.
hasta el momento, nos han dado la definición de métrica equivalente y el siguiente teorema.

Definiciòn. dos metricas [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] son equivalentes si definen la misma topología. Esto es [texx]T_d[/texx] = [texx]T_{d^{\prime}}[/texx]. Es decir, generan los mismos conjuntos abiertos.

teorema.
sean [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] distancias definidas sobre un conjunto X. [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] son equivalentes si y sólo si para todo [texx]x\in{X}[/texx] y todo r mayor que cero, se cumplen las siguientes condiciones:
1) Existe [texx]\epsilon[/texx] mayor que cero tal que [texx]B_{d} (x,\epsilon)\subseteq{B_{d^{\prime}} (x,r)}[/texx]
2) Existe [texx]\epsilon^{\prime}[/texx] mayor que cero, talque [texx]B_{d^{\prime}}(x,\epsilon^{\prime})\subseteq{B_{d}(x,r)}[/texx]
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« Respuesta #3 : 06/04/2013, 01:50:11 am »

Hola,

 que bueno que pusiste los resultados y definición que tenías. Me ahorraste varios supuestos y cosas que habría escrito de más   :sonrisa:

Para probar que las métricas son equivalentes usaremos el teorema equivalente.

Definiciòn. dos metricas [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] son equivalentes si definen la misma topología. Esto es [texx]T_d[/texx] = [texx]T_{d^{\prime}}[/texx]. Es decir, generan los mismos conjuntos abiertos.

teorema.
sean [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] distancias definidas sobre un conjunto X. [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] son equivalentes si y sólo si para todo [texx]x\in{X}[/texx] y todo r mayor que cero, se cumplen las siguientes condiciones:
1) Existe [texx]\epsilon[/texx] mayor que cero tal que [texx]B_{d} (x,\epsilon)\subseteq{B_{d^{\prime}} (x,r)}[/texx]
2) Existe [texx]\epsilon^{\prime}[/texx] mayor que cero, talque [texx]B_{d^{\prime}}(x,\epsilon^{\prime})\subseteq{B_{d}(x,r)}[/texx]

teorema.
dos distancias [texx]d[/texx] y [texx]d^{\prime}[/texx] sobre un conjunto X son equivalentes si existen constantes m y [texx]M[/texx] mayores que cero tales que para todo [texx]x,y\in{X}[/texx] se satisface  [texx]md(x,y)\leq{d^{\prime}(x,y)}\leq{Md(x,y)}[/texx].

Demostración:

Supongamos que existe [texx]M>[/texx] tal que para todo [texx]x,y\in X[/texx] se cumple [texx]d'(x,y)\leq Md(x,y)[/texx] y probemos que se cumple la condición 1) del teorema.

Sea [texx]x\in X[/texx] y [texx]r>0[/texx]. Definiendo [texx]\epsilon:=\dfrac{r}{M}[/texx] se tiene que

[texx]d(x,y)\leq\epsilon\Rightarrow d'(x,y)\leq Md(x,y)\leq M\epsilon=r[/texx]

y por tanto [texx]B_{d} (x,\epsilon)\subseteq{B_{d^{\prime}} (x,r)}[/texx].


La otra parte es análoga.
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« Respuesta #4 : 06/04/2013, 03:55:01 am »

Hola mathtruco.
Muchas gracias por tu respuesta. Ese procedimiento me va a servir mucho para resolver la otra parte. Me he dado cuenta que es muy enriquecedor los aportes que se llevan a cabo en este foro. Espero que con el transcurso de los días adquiera más bagaje y así pueda hacer unos buenos aportes.
Que Dios lo bendiga.
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« Respuesta #5 : 06/04/2013, 10:10:38 am »

El punto fuerte del foro es que muchos pueden ver la respuesta y atajar los errores, complementarlas o proponer otras.

A modo de consejo, lo  mejor es tratar de resolver los problemas uno mismo, quedarse pegado con un tema un par de días es parte del aprendizaje. Por supuesto que uno se quedará pegado muchas veces y necesitará un empujón, per si uno recibe la respuesta a un problema demasiado rápido se miente solo porque no aprende. No digo que sea tu caso, sólo digo que preguntar tareas es una tentación grande en un sitio como éste.

Pero bien utilizado, este foro es un complemento ideal de una carrera matemática.


Espero que con el transcurso de los días adquiera más bagaje y así pueda hacer unos buenos aportes.

¡genial!   Esa es la idea de esta comunidad, y es de ayuda para el que pregunta, pero también para el que responde.
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« Respuesta #6 : 07/04/2013, 03:06:32 am »

Hola mathtruco.
He realizado la otra parte de la demostración obteniendo el siguiente resultado. En este caso me gustaría saber si la demostración es así o tiene algún error.Gracias por su aporte significativo.

supongamos que existe [texx]m>0[/texx] talque para todo [texx]x,y\in{X}[/texx] se cumple [texx]m*d(x,y)\leq{d^{\prime}(x,y)}[/texx] y probemos que se cumple la condición 2) del teorema.

Sea [texx]x\in{X}[/texx] y [texx]r>0[/texx]. Definiendo [texx]\epsilon:= mr[/texx] se tiene que [texx]d^{\prime}(x,y)<\epsilon [/texx] [texx]\Rightarrow{d(x,y)\leq{\displaystyle\frac{d^{\prime}(x,y)}{m}}\leq{\displaystyle\frac{\epsilon}{m}}= r}[/texx].  [texx]\textsf{es decir}, d(x,y)< r[/texx].
por lo tanto, [texx]B_{d^{\prime}}(x,y)\subseteq{B_d(x,y)}[/texx].


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« Respuesta #7 : 07/04/2013, 10:40:09 am »

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